1. **Énoncé du problème** : Déterminer les vecteurs normaux des plans pour les groupes A et B. Vérifier si les vecteurs normaux sont parallèles et linéairement dépendants. Déterminer le lieu d'intersection des plans de chaque groupe. Expliquer la différence principale entre ces deux lieux d'intersection. 2. **Vecteurs normaux** : Pour un plan $ax + by + cz = d$, le vecteur normal est $\vec{n} = (a,b,c)$. - Groupe A : - $\pi_1 : 2x - y + 3z = 6 \Rightarrow \vec{n}_1 = (2,-1,3)$ - $\pi_2 : -x + 2y + 3z = -1 \Rightarrow \vec{n}_2 = (-1,2,3)$ - $\pi_3 : -x + 5y + 12z = 3 \Rightarrow \vec{n}_3 = (-1,5,12)$ - Groupe B : - $\pi_4 : 3x + 2y - 2z = -1 \Rightarrow \vec{n}_4 = (3,2,-2)$ - $\pi_5 : -2x + y + z = 3 \Rightarrow \vec{n}_5 = (-2,1,1)$ - $\pi_6 : 2x + 6y - 2z = 2 \Rightarrow \vec{n}_6 = (2,6,-2)$ 3. **Vérification de parallélisme et dépendance linéaire** : - Groupe A : - Vérifions si $\vec{n}_1$, $\vec{n}_2$, $\vec{n}_3$ sont colinéaires ou linéairement dépendants. - Calcul du déterminant de la matrice formée par ces vecteurs : $$\det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 3 \\ -1 & 5 & 12 \end{pmatrix}$$ Calculons : $$2(2 \times 12 - 3 \times 5) - (-1)(-1 \times 12 - 3 \times (-1)) + 3(-1 \times 5 - 2 \times (-1))$$ $$= 2(24 - 15) - (-1)(-12 + 3) + 3(-5 + 2)$$ $$= 2(9) - (-1)(-9) + 3(-3) = 18 - 9 - 9 = 0$$ Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont linéairement dépendants. Ils ne sont pas tous parallèles car aucun vecteur n'est un multiple exact des autres. - Groupe B : - Vérifions si $\vec{n}_4$, $\vec{n}_5$, $\vec{n}_6$ sont linéairement dépendants. - Calcul du déterminant : $$\det \begin{pmatrix} 3 & 2 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 6 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculons : $$3(1 \times (-2) - 1 \times 6) - 2(-2 \times (-2) - 1 \times 2) + (-2)(-2 \times 6 - 1 \times 2)$$ $$= 3(-2 - 6) - 2(4 - 2) - 2(-12 - 2)$$ $$= 3(-8) - 2(2) - 2(-14) = -24 - 4 + 28 = 0$$ Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont linéairement dépendants. Vérifions parallélisme : $\vec{n}_6 = 2 \times \vec{n}_5$ ? $2 \times (-2,1,1) = (-4,2,2) \neq (2,6,-2)$ donc non. $\vec{n}_6$ n'est pas multiple de $\vec{n}_4$ non plus. Donc pas parallèles. 4. **Lieu d'intersection des plans** : - Groupe A : - Trois plans avec vecteurs normaux linéairement dépendants mais non parallèles. - Résolvons le système : $$\begin{cases} 2x - y + 3z = 6 \\ -x + 2y + 3z = -1 \\ -x + 5y + 12z = 3 \end{cases}$$ Soustrayons la deuxième de la troisième : $$(-x + 5y + 12z) - (-x + 2y + 3z) = 3 - (-1)$$ $$3y + 9z = 4$$ $$y + 3z = \frac{4}{3}$$ Utilisons la deuxième équation pour exprimer $x$ : $$-x + 2y + 3z = -1 \Rightarrow x = 2y + 3z + 1$$ Le lieu d'intersection est donc une droite paramétrée par $z = t$ : $$y = \frac{4}{3} - 3t$$ $$x = 2\left(\frac{4}{3} - 3t\right) + 3t + 1 = \frac{8}{3} - 6t + 3t + 1 = \frac{11}{3} - 3t$$ Donc : $$\vec{r}(t) = \left(\frac{11}{3} - 3t, \frac{4}{3} - 3t, t\right)$$ - Groupe B : - Système : $$\begin{cases} 3x + 2y - 2z = -1 \\ -2x + y + z = 3 \\ 2x + 6y - 2z = 2 \end{cases}$$ Additionnons la première et la troisième : $$ (3x + 2y - 2z) + (2x + 6y - 2z) = -1 + 2$$ $$5x + 8y - 4z = 1$$ Utilisons la deuxième pour exprimer $z$ : $$-2x + y + z = 3 \Rightarrow z = 3 + 2x - y$$ Remplaçons $z$ dans l'équation combinée : $$5x + 8y - 4(3 + 2x - y) = 1$$ $$5x + 8y - 12 - 8x + 4y = 1$$ $$-3x + 12y = 13$$ $$-3x = 13 - 12y \Rightarrow x = \frac{12y - 13}{3}$$ Le lieu d'intersection est donc une droite paramétrée par $y = t$ : $$x = \frac{12t - 13}{3}$$ $$z = 3 + 2\left(\frac{12t - 13}{3}\right) - t = 3 + 8t - \frac{26}{3} - t = \frac{9}{3} - \frac{26}{3} + 7t = -\frac{17}{3} + 7t$$ Donc : $$\vec{r}(t) = \left(\frac{12t - 13}{3}, t, -\frac{17}{3} + 7t\right)$$ 5. **Différence principale entre les lieux d'intersection** : - Les deux groupes ont des vecteurs normaux linéairement dépendants, donc les plans ne sont pas tous indépendants. - Le lieu d'intersection dans les deux cas est une droite, mais les directions et positions sont différentes. - Dans le groupe A, les plans sont plus proches d'être coplanaires (vecteurs normaux proches), tandis que dans le groupe B, la droite d'intersection a une direction différente et les plans sont plus inclinés. **Réponse finale** : - Vecteurs normaux Groupe A : $(2,-1,3)$, $(-1,2,3)$, $(-1,5,12)$, linéairement dépendants mais non parallèles. - Vecteurs normaux Groupe B : $(3,2,-2)$, $(-2,1,1)$, $(2,6,-2)$, linéairement dépendants mais non parallèles. - Lieux d'intersection : - Groupe A : droite paramétrée par $$\vec{r}(t) = \left(\frac{11}{3} - 3t, \frac{4}{3} - 3t, t\right)$$ - Groupe B : droite paramétrée par $$\vec{r}(t) = \left(\frac{12t - 13}{3}, t, -\frac{17}{3} + 7t\right)$$ - Différence principale : les directions et positions des droites d'intersection diffèrent, reflétant des configurations géométriques distinctes des plans.