1. Énoncé du problème : Vérifions les propriétés géométriques données pour les points A(1;1;0), B(2;0;0), C(1;3;-1), et E(2;2;2) dans le repère orthonormé (O; i, j, k), par rapport au plan (P) d'équation $$x + y + 2z - 2 = 0$$. 2. Vérification que les points A, B, et C appartiennent au plan (P) : Calculons $$x + y + 2z - 2$$ pour chaque point. - Pour A(1;1;0) : $$1 + 1 + 2 \times 0 - 2 = 2 - 2 = 0$$ donc A est dans le plan. - Pour B(2;0;0) : $$2 + 0 + 0 - 2 = 0$$ donc B est dans le plan. - Pour C(1;3;-1) : $$1 + 3 + 2 \times (-1) - 2 = 1 + 3 - 2 - 2 = 0$$ donc C est dans le plan. 3. Vérification que E(2;2;2) n'est pas dans le plan (P) : Calculons $$x + y + 2z - 2$$ pour E $$2 + 2 + 2 \times 2 - 2 = 2 + 2 + 4 - 2 = 6 \neq 0$$, donc E n'appartient pas au plan. 4. Étude du vecteur normal au plan (P) : Le vecteur normal est $$\vec{n} = (1,1,2)$$ d'après l'équation. 5. Vérification que la droite (AB) est incluse dans le plan (P) : - Calculons le vecteur directeur de (AB) : $$\overrightarrow{AB} = (2 - 1, 0 - 1, 0 - 0) = (1, -1, 0)$$ - Produit scalaire $$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 1 \times 1 + 1 \times (-1) + 2 \times 0 = 1 - 1 + 0 = 0$$ - Comme le produit scalaire est nul, $$\overrightarrow{AB}$$ est orthogonal à $$\vec{n}$$, donc la droite (AB) est parallèle au plan (P) et puisque A est dans le plan, (AB) est incluse dans (P). 6. Vérification que la droite (CE) est perpendiculaire au plan (P) : - Vecteur directeur de (CE) : $$\overrightarrow{CE} = (2 - 1, 2 - 3, 2 - (-1)) = (1, -1, 3)$$ - Calculons le produit scalaire $$\vec{n} \cdot \overrightarrow{CE} = 1 \times 1 + 1 \times (-1) + 2 \times 3 = 1 -1 + 6 = 6 \neq 0$$ - Comme ce produit scalaire est non nul, (CE) n'est pas orthogonal au vecteur normal du plan, donc (CE) n'est pas perpendiculaire au plan. 7. Vérification que la droite (CE) est parallèle au vecteur normal au plan : - Vérifions si $$\overrightarrow{CE}$$ est colinéaire à $$\vec{n}$$ : Calcul des rapports $$\frac{1}{1} = 1$$, $$\frac{-1}{1} = -1$$, $$\frac{3}{2} = 1.5$$. Ils ne sont pas égaux, donc non colinéaire. 8. Synthèse : - Les points A, B, C sont dans le plan (P). - Le point E n'est pas dans (P). - La droite (AB) est dans le plan (P). - La droite (CE) n'est ni perpendiculaire ni parallèle au plan (P). Réponse finale : - $$A, B, C \in (P)$$ - $$E \notin (P)$$ - $$ (AB) \subset (P)$$ - $$ (CE) \not\perp (P)$$ et $$ (CE) \not\parallel \vec{n}$$