1. **Énoncé du problème :** Nous avons trois points Quipply $(48,120)$, Pointon $(16,20)$ et Rougeville $(88,40)$. On cherche la longueur de la nouvelle route, qui est la distance perpendiculaire entre le segment Quipply-Rougeville et le milieu du segment Quipply-Pointon. 2. **Trouver le milieu de Quipply-Pointon :** Le milieu $M$ a pour coordonnées $$M = \left(\frac{48+16}{2}, \frac{120+20}{2}\right) = (32, 70)$$ 3. **Équation de la droite Quipply-Rougeville :** La pente $m$ vaut $$m = \frac{40-120}{88-48} = \frac{-80}{40} = -2$$ L'équation en forme point-pente, avec le point Quipply $(48,120)$ : $$y - 120 = -2(x - 48)$$ Ou $$y = -2x + 96 + 120 = -2x + 216$$ 4. **Distance du point $M(32,70)$ à la droite $y = -2x + 216$ :** Pour une droite $Ax + By + C=0$, on écrit ici $$2x + y - 216 = 0$$ La distance $d$ se calcule par $$d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|2 \times 32 + 1 \times 70 - 216|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|64 + 70 - 216|}{\sqrt{5}} = \frac{82}{\sqrt{5}}$$ 5. **Simplification :** $$d = \frac{82}{\sqrt{5}} = \frac{82 \sqrt{5}}{5} \approx 36.71$$ **Réponse finale :** La longueur de la nouvelle route est d'environ $36.7$ kilomètres au kilomètre près.