1. **Énoncé du problème** : Nous avons le plan (P) d’équation $x + y + z - 2 = 0$ dans un repère orthonormé direct $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. **Questions** : 1) Trouver les coordonnées des points d’intersection $A, B, C$ du plan avec les axes. 2) Écrire un système paramétrique de la droite $(d)$ passant par $O$ et perpendiculaire à $(P)$. 3) a - Trouver les coordonnées de $W$ intersection de $(d)$ et $(P)$. b - Montrer que $W$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$. 4) a - Vérifier que $E(\frac{4}{3};-\frac{2}{3};\frac{4}{3})$ est le symétrique de $B$ par rapport à $W$. b - Calculer l’aire du quadrilatère $ABCE$. 2. **Déterminer $A$, $B$, $C$** : - $A$ est intersection de $(P)$ avec axe $x$ ($y=0,z=0$), donc $x + 0 + 0 - 2 = 0 \Rightarrow x=2$. Donc $A(2,0,0)$. - $B$ est intersection avec axe $y$ ($x=0,z=0$), donc $0 + y + 0 - 2 = 0 \Rightarrow y=2$. Donc $B(0,2,0)$. - $C$ est intersection avec axe $z$ ($x=0,y=0$), donc $0 + 0 + z - 2 = 0 \Rightarrow z=2$. Donc $C(0,0,2)$. 3. **Droite $(d)$ orthogonale à $(P)$ passant par $O$** : Le vecteur normal à $(P)$ est $\vec{n} = (1,1,1)$. Donc paramétriquement : $$x=t, \quad y=t, \quad z=t\quad t\in\mathbb{R}$$ 4. **Coordonnées de $W$ intersection de $(d)$ et $(P)$** : Comme $W$ est sur $(d)$, $W(t) = (t,t,t)$. $W$ sur $(P)$ signifie : $x+y+z-2=0 \Rightarrow t+t+t-2=0 \Rightarrow 3t=2 \Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Donc $W=\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$. 5. **Montrer que $W$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$** : Le cercle circonscrit est le cercle passant par $A$, $B$, $C$. Son centre $W$ est équidistant des trois points. Calculons les distances : $$|WA|=\sqrt{\left(2-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(0-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(0-\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{24}{9}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$ $$|WB|=\sqrt{\left(0-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(2-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(0-\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$ $$|WC|=\sqrt{\left(0-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(0-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(2-\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$ Les distances sont égales, donc $W$ est équidistant des sommets $A,B,C$ et est donc le centre du cercle circonscrit. 6. **Vérifier $E$ symétrique de $B$ par rapport à $W$** : Le symétrique $E$ de $B$ par rapport à $W$ vérifie : $$\vec{OE} = 2\vec{OW} - \vec{OB}$$ Calculons : $\vec{OB} = (0,2,0)$, $\vec{OW} = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$ Donc : $$2\vec{OW} - \vec{OB} = 2 \times \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) - (0,2,0) = \left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right) - (0,2,0) = \left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3} - 2, \frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$$ C’est exactement les coordonnées de $E$. Donc $E$ est bien symétrique de $B$ par rapport à $W$. 7. **Calcul de l’aire du quadrilatère $ABCE$** : Le quadrilatère $ABCE$ a les sommets $A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,2), E\left( \frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{4}{3} \right)$. Le quadrilatère est un parallélogramme car $E$ est symétrique de $B$ par rapport à $W$, centre du cercle circonscrit, donc $ABCE$ est un parallélogramme où $E = 2W - B$. L’aire d’un parallélogramme formé par vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ est : $$\text{aire} = \| \vec{AB} \wedge \vec{AC} \|$$ Calculons : $$\vec{AB} = B - A = (0-2, 2-0, 0-0) = (-2, 2, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0-2, 0-0, 2-0) = (-2, 0, 2)$$ Calcul du produit vectoriel : $$\vec{AB} \wedge \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (2 \times 2 - 0 \times 0)\vec{i} - (-2 \times 2 - 0 \times -2)\vec{j} + (-2 \times 0 - 2 \times -2)\vec{k} = (4)\vec{i} - (-4)\vec{j} + (4)\vec{k} = (4,4,4)$$ Norme : $$\| \vec{AB} \wedge \vec{AC} \| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{16 +16 +16} = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$$ Donc aire du parallélogramme $ABCE$ est $4\sqrt{3}$. **Réponses finales :** - $A(2,0,0)$, $B(0,2,0)$, $C(0,0,2)$. - Paramétrisation de $(d)$ : $x=t$, $y=t$, $z=t$. - $W = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$ centre du cercle circonscrit. - $E$ est symétrique de $B$ par rapport à $W$. - L’aire du parallélogramme $ABCE$ vaut $4\sqrt{3}$.