1. **Énoncé du problème :** Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) définie par sa représentation paramétrique. 2. **Rappel de la formule :** Une droite (D) passant par un point $A(x_A, y_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u} = (a, b)$ a pour représentation paramétrique : $$\begin{cases} x = x_A + t a \\ y = y_A + t b \end{cases}$$ avec $t \in \mathbb{R}$. L'équation cartésienne de cette droite est donnée par : $$a' x + b' y + c = 0$$ avec $a' = -b$, $b' = a$, et $c = -a' x_A - b' y_A$. 3. **Exemple 1 :** Donnée : $$\begin{cases} x = 2 - 3t \\ y = -1 + t \end{cases}$$ Ici, $x_A = 2$, $y_A = -1$, $a = -3$, $b = 1$. Calculons $a'$, $b'$, $c$ : $$a' = -b = -1$$ $$b' = a = -3$$ $$c = -a' x_A - b' y_A = -(-1) \times 2 - (-3) \times (-1) = 2 - 3 = -1$$ Donc l'équation cartésienne est : $$-1 \times x - 3 \times y - 1 = 0$$ ou simplifiée : $$-x - 3y - 1 = 0$$ 4. **Exemple 2 :** Donnée : $$\begin{cases} x = -2k \\ y = 5 + 3k \end{cases}$$ Ici, $x_A = 0$, $y_A = 5$, $a = -2$, $b = 3$. Calculons $a'$, $b'$, $c$ : $$a' = -b = -3$$ $$b' = a = -2$$ $$c = -a' x_A - b' y_A = -(-3) \times 0 - (-2) \times 5 = 0 + 10 = 10$$ L'équation cartésienne est : $$-3x - 2y + 10 = 0$$ 5. **Interprétation :** On a transformé la représentation paramétrique en équation cartésienne en utilisant la relation entre vecteur directeur et coefficients de l'équation. **Réponse finale :** 1) $-x - 3y - 1 = 0$ 2) $-3x - 2y + 10 = 0$