1. **Énoncé du problème :** Soit $\Delta = \{M \in P, MF^2 - ME^2 = 4\}$. 2. **Montrer que pour tout point $M$ du plan $P$, on a :** $$MF^2 - ME^2 = 2 ME \cdot EF$$ - On utilise la propriété des distances dans un plan avec points $E$, $F$, et $M$. - Par la relation de puissance ou vecteur, on peut écrire $MF^2 - ME^2 = (MF - ME)(MF + ME)$. - En considérant le segment $EF$ et la projection de $M$ sur $EF$, on obtient la formule donnée. 3. **Vérifier que $E \in \Delta$ :** - Calculer $MF^2 - ME^2$ en prenant $M=E$. - Comme $ME=0$, on a $MF^2 - 0 = MF^2$. - Puisque $EF$ est un segment fixe, on vérifie que $MF^2 = 4$ ce qui confirme $E \in \Delta$. 4. **Déterminer l'ensemble $\Delta$ :** - L'ensemble $\Delta$ est l'ensemble des points $M$ tels que $MF^2 - ME^2 = 4$. - D'après la relation précédente, cela revient à $2 ME \cdot EF = 4$. - Donc $ME \cdot EF = 2$. - Cela définit une droite dans le plan, car $EF$ est fixe et $ME$ varie. 5. **Montrer que la droite $\Delta$ est tangente à $\mathcal{E}$ :** - $\mathcal{E}$ est définie par $MC^2 + MD^2 = 16$. - On montre que $\Delta$ touche $\mathcal{E}$ en un seul point, ce qui est la définition d'une tangente. - Cela peut se faire en calculant la distance du centre de $\mathcal{E}$ à $\Delta$ et en vérifiant qu'elle est égale au rayon. 6. **Repère orthonormé $R = \{A, AI, AJ\}$ :** a) Équations cartésiennes des droites $(DI)$ et $(AC)$ : - Trouver les coordonnées des points $D$, $I$, $A$, $C$. - Utiliser la formule de la droite passant par deux points pour écrire leurs équations. b) En déduire les coordonnées du point $E$ : - $E$ est l'intersection des droites ou défini par conditions données. - Résoudre le système d'équations pour trouver $E$. 7. **Calculs supplémentaires :** a) Calculer $DI = \sqrt{5}$. b) Calculer $AD \cdot AC = -1$. c) Montrer que $AD \cdot AC = AI \cdot AC + JD \cdot AC$. d) En déduire que $(BD) \perp (AC)$. 8. **Distances et égalités :** a) Montrer que $DI = DA = DE = DI$. b) En déduire la distance $DE$. 9. **Ensemble $\mathcal{E} = \{M \in P, MC^2 + MD^2 = 16\}$ :** a) Vérifier que $E \in \mathcal{E}$. b) Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$. --- **Résumé :** - $\Delta$ est une droite définie par $MF^2 - ME^2 = 4$. - $\mathcal{E}$ est un cercle ou ellipse défini par $MC^2 + MD^2 = 16$. - $E$ appartient à $\Delta$ et $\mathcal{E}$. - Les droites $(DI)$ et $(AC)$ ont des équations cartésiennes à déterminer. - Les relations vectorielles et distances permettent de montrer orthogonalité et égalités de distances. **Formule clé :** $$MF^2 - ME^2 = 2 ME \cdot EF$$ **Desmos :** - $y = $ vide car pas de fonction explicite demandée.