1. **Énoncé du problème :** On a un triangle ABC dans un repère défini par le point A comme origine, et les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ comme axes. Le point G vérifie l'équation vectorielle : $$2\overrightarrow{GA} + 6\overrightarrow{GB} - 6\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$ On connaît les coordonnées de G : $(1, -2)$. 2. **Trouver les coordonnées de B et C :** Dans le repère $(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$, on a : - $A = (0,0)$ - $B = (1,0)$ car $\overrightarrow{AB}$ est l'axe des abscisses - $C = (0,1)$ car $\overrightarrow{AC}$ est l'axe des ordonnées 3. **Interprétation des vecteurs :** Les vecteurs de G à A, B, C s'écrivent en coordonnées : - $\overrightarrow{GA} = A - G = (0 - 1, 0 - (-2)) = (-1, 2)$ - $\overrightarrow{GB} = B - G = (1 - 1, 0 - (-2)) = (0, 2)$ - $\overrightarrow{GC} = C - G = (0 - 1, 1 - (-2)) = (-1, 3)$ 4. **Vérification de l'équation vectorielle :** Calculons : $$2\overrightarrow{GA} + 6\overrightarrow{GB} - 6\overrightarrow{GC} = 2(-1,2) + 6(0,2) - 6(-1,3)$$ $$= (-2,4) + (0,12) - (-6,18) = (-2,4) + (0,12) + (6,-18) = (4,-2) \neq (0,0)$$ Cela montre que G n'est pas arbitraire, mais on doit plutôt utiliser l'équation pour trouver B et C. 5. **Reformulation pour trouver B et C :** Posons $B = (x_B,0)$ et $C = (0,y_C)$ car ils sont sur les axes $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. Les coordonnées de G sont données : $G = (1,-2)$. Les vecteurs : - $\overrightarrow{GA} = (0 - 1, 0 - (-2)) = (-1, 2)$ - $\overrightarrow{GB} = (x_B - 1, 0 - (-2)) = (x_B - 1, 2)$ - $\overrightarrow{GC} = (0 - 1, y_C - (-2)) = (-1, y_C + 2)$ L'équation vectorielle devient : $$2(-1,2) + 6(x_B - 1, 2) - 6(-1, y_C + 2) = (0,0)$$ Ce qui donne deux équations : - En $x$ : $2 \times (-1) + 6(x_B - 1) - 6 \times (-1) = 0 \Rightarrow -2 + 6x_B - 6 + 6 = 0 \Rightarrow 6x_B - 2 = 0$ - En $y$ : $2 \times 2 + 6 \times 2 - 6(y_C + 2) = 0 \Rightarrow 4 + 12 - 6y_C - 12 = 0 \Rightarrow 4 - 6y_C = 0$ 6. **Résolution :** - $6x_B - 2 = 0 \Rightarrow 6x_B = 2 \Rightarrow x_B = \frac{1}{3}$ - $4 - 6y_C = 0 \Rightarrow 6y_C = 4 \Rightarrow y_C = \frac{2}{3}$ Donc : $$B = \left(\frac{1}{3}, 0\right), \quad C = \left(0, \frac{2}{3}\right)$$ 7. **Trouver le point E tel que IGEC est un parallélogramme :** - $I$ est le milieu de $[AB]$, donc : $$I = \left(\frac{0 + \frac{1}{3}}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{1}{6}, 0\right)$$ - Le parallélogramme $IGEC$ a pour sommets $I, G, E, C$ dans cet ordre. - La propriété d'un parallélogramme est que le vecteur $\overrightarrow{IE} = \overrightarrow{GC}$. - Calcul de $\overrightarrow{GC}$ : $$\overrightarrow{GC} = C - G = \left(0 - 1, \frac{2}{3} - (-2)\right) = \left(-1, \frac{8}{3}\right)$$ - Donc : $$E = I + \overrightarrow{GC} = \left(\frac{1}{6}, 0\right) + \left(-1, \frac{8}{3}\right) = \left(-\frac{5}{6}, \frac{8}{3}\right)$$ **Réponse finale :** - $B = \left(\frac{1}{3}, 0\right)$ - $C = \left(0, \frac{2}{3}\right)$ - $E = \left(-\frac{5}{6}, \frac{8}{3}\right)$