1. **Énoncé du problème :** On a les points $A(1,3)$, $B(2,0)$, $C(4,4)$ et les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$. On doit calculer $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$, leur produit scalaire $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$, le déterminant $\det(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})$, puis les cosinus et sinus de l'angle entre $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$, et enfin la mesure de cet angle. 2. **Calcul des vecteurs :** $$\overrightarrow{BA} = A - B = (1-2, 3-0) = (-1, 3)$$ $$\overrightarrow{BC} = C - B = (4-2, 4-0) = (2, 4)$$ 3. **Produit scalaire :** $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1) \times 2 + 3 \times 4 = -2 + 12 = 10$$ 4. **Déterminant (produit vectoriel en 2D) :** $$\det(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}) = (-1) \times 4 - 3 \times 2 = -4 - 6 = -10$$ 5. **Normes des vecteurs :** $$||\overrightarrow{BA}|| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$ $$||\overrightarrow{BC}|| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ 6. **Cosinus et sinus de l'angle $\theta$ entre $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ :** $$\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{||\overrightarrow{BA}|| \times ||\overrightarrow{BC}||} = \frac{10}{\sqrt{10} \times 2\sqrt{5}} = \frac{10}{2 \sqrt{50}} = \frac{10}{2 \times 5 \sqrt{2}} = \frac{10}{10 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\sin(\theta) = \frac{|\det(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})|}{||\overrightarrow{BA}|| \times ||\overrightarrow{BC}||} = \frac{10}{\sqrt{10} \times 2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 7. **Mesure de l'angle $\theta$ :** Puisque $\cos(\theta) = \sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, on a $$\theta = 45^\circ$$ **Réponse finale :** L'angle entre $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ est de $45^\circ$. --- **Note :** Les autres parties du problème (droite $(D)$, cercle $(C)$, système d'inégalités) ne sont pas traitées car la consigne est de répondre uniquement à la première question.