1. **بيان المسألة:** لدينا مركبات سرعة مائع في الإحداثيات القطبية حيث $u_r=0$ و $u_\theta=\frac{k}{r}$، ونريد حساب الدورانية (vorticity) حول دائرة نصف قطرها 2 سم. 2. **صيغة الدورانية في الإحداثيات القطبية:** الدورانية $\omega$ تعطى بالعلاقة: $$\omega = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r u_\theta) - \frac{1}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta}$$ 3. **تطبيق القيم المعطاة:** بما أن $u_r=0$، فإن: $$\frac{\partial u_r}{\partial \theta} = 0$$ وبالتالي: $$\omega = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \cdot \frac{k}{r}\right) = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (k) = \frac{1}{r} \cdot 0 = 0$$ 4. **الدورانية صفر في كل نقطة، ولكن السؤال يطلب الدورانية حول دائرة نصف قطرها 2 سم، أي التكامل الخطي للدورانية حول الدائرة:** الدورانية حول دائرة نصف قطرها $r=0.02$ متر تعطى بالتكامل الخطي: $$\Gamma = \oint_C \vec{u} \cdot d\vec{l}$$ حيث $d\vec{l}$ هو متجه الطول على الدائرة. 5. **حساب التكامل الخطي:** سرعة المائع على الدائرة: $$u_\theta = \frac{k}{r} = \frac{k}{0.02}$$ والاتجاه هو دائري، لذا: $$\Gamma = u_\theta \times (2 \pi r) = \frac{k}{r} \times 2 \pi r = 2 \pi k$$ 6. **النتيجة:** الدورانية حول دائرة نصف قطرها 2 سم تساوي: $$\boxed{2 \pi k}$$ وبالتالي الخيار الصحيح هو (c).