1. **بيان المسألة:** لدينا دالة الانسياب لسريان يمر على اسطوانة دائرية نصف قطرها $a$ في الإحداثيات القطبية: $$\psi = U_\infty \left(1 - \frac{a^2}{r^2}\right) r \sin \theta$$ حيث $U_\infty$ هي سرعة السريان الحر الموازي للمحور الأفقي وقيمتها ثابتة. المطلوب: حساب مركبة السرعة الزاوية $v_\theta$ على سطح الاسطوانة عند $\theta = 90^\circ$. 2. **الصيغة المستخدمة:** مركبة السرعة الزاوية في الإحداثيات القطبية تعطى بالعلاقة: $$v_\theta = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$$ 3. **حساب المشتقة الجزئية:** نبدأ بحساب: $$\frac{\partial \psi}{\partial r} = U_\infty \frac{\partial}{\partial r} \left[ \left(1 - \frac{a^2}{r^2}\right) r \sin \theta \right]$$ نوزع ونبسط داخل المشتقة: $$\left(1 - \frac{a^2}{r^2}\right) r = r - \frac{a^2}{r}$$ إذاً: $$\frac{\partial \psi}{\partial r} = U_\infty \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} \left(r - \frac{a^2}{r}\right) = U_\infty \sin \theta \left(1 + \frac{a^2}{r^2}\right)$$ 4. **حساب $v_\theta$ عند $r=a$ و $\theta=90^\circ$:** نعوض: - $r = a$ - $\sin 90^\circ = 1$ فتكون: $$v_\theta = - \frac{\partial \psi}{\partial r} = - U_\infty \times 1 \times \left(1 + \frac{a^2}{a^2}\right) = - U_\infty (1 + 1) = -2 U_\infty$$ 5. **النتيجة:** مركبة السرعة الزاوية على سطح الاسطوانة عند $\theta=90^\circ$ هي: $$v_\theta = -2 U_\infty$$ وبالتالي لا تتطابق مع أي من الخيارات المعطاة مباشرة، ولكن أقربها هو $v_\theta = -3r$ إذا افترضنا $r=a$ و $U_\infty = \frac{3a}{2}$، لكن حسب المعطيات الثابتة، الجواب الصحيح هو: $$v_\theta = -2 U_\infty$$