1. **بيان المسألة:** معطى متجه السرعة لسريان غير قابل للانضغاط: $$\mathbf{V} = (6xt + yz^2)\mathbf{i} + (3t + xy^2)\mathbf{j} + (xy - 2xyz - 6tz)\mathbf{k}$$ نريد حساب مركبة العجلة في اتجاه محور $x$ عند النقطة $A(1,1,1)$ والزمن $t=1$. 2. **صيغة العجلة:** العجلة هي المشتقة الزمنية لمتجه السرعة: $$\mathbf{a} = \frac{D\mathbf{V}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla) \mathbf{V}$$ 3. **حساب المشتقة الجزئية لمركبة السرعة $V_x$ بالنسبة للزمن:** $$V_x = 6xt + yz^2$$ $$\frac{\partial V_x}{\partial t} = 6x$$ عند $x=1$: $$\frac{\partial V_x}{\partial t} = 6 \times 1 = 6$$ 4. **حساب مشتقات $V_x$ بالنسبة للمتغيرات المكانية:** $$\frac{\partial V_x}{\partial x} = 6t$$ $$\frac{\partial V_x}{\partial y} = z^2$$ $$\frac{\partial V_x}{\partial z} = 2yz$$ عند $x=1, y=1, z=1, t=1$: $$\frac{\partial V_x}{\partial x} = 6 \times 1 = 6$$ $$\frac{\partial V_x}{\partial y} = 1^2 = 1$$ $$\frac{\partial V_x}{\partial z} = 2 \times 1 \times 1 = 2$$ 5. **حساب مركبات السرعة عند النقطة والزمن المعطى:** $$V_x = 6 \times 1 \times 1 + 1 \times 1^2 = 6 + 1 = 7$$ $$V_y = 3 \times 1 + 1 \times 1^2 = 3 + 1 = 4$$ $$V_z = 1 \times 1 - 2 \times 1 \times 1 \times 1 - 6 \times 1 \times 1 = 1 - 2 - 6 = -7$$ 6. **حساب مركبة العجلة في اتجاه $x$ باستخدام: $$a_x = \frac{\partial V_x}{\partial t} + V_x \frac{\partial V_x}{\partial x} + V_y \frac{\partial V_x}{\partial y} + V_z \frac{\partial V_x}{\partial z}$$ بتعويض القيم: $$a_x = 6 + 7 \times 6 + 4 \times 1 + (-7) \times 2 = 6 + 42 + 4 - 14 = 38$$ **النتيجة النهائية:** $$a_x = 38$$ إذن الخيار الصحيح هو (a) $a_x=38$.