1. **بيان المسألة:** معطى متجه السرعة لسريان غير قابل للانضغاط: $$\mathbf{V} = (6xt + yz^2)\mathbf{i} + (3t + xy^2)\mathbf{j} + (xy - 2xyz - 6tz)\mathbf{k}$$ نريد حساب مركبة العجلة في اتجاه محور $x$ عند النقطة $A(1,1,1)$ والوقت $t=1$. 2. **صيغة العجلة:** العجلة هي المشتقة الزمنية لمتجه السرعة مع الأخذ في الاعتبار تغير الموقع: $$\mathbf{a} = \frac{D\mathbf{V}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla) \mathbf{V}$$ 3. **حساب المشتقة الجزئية بالنسبة للزمن لمركبة $x$:** $$V_x = 6xt + yz^2$$ $$\frac{\partial V_x}{\partial t} = 6x$$ 4. **حساب مشتقة الاتجاه المكاني (المشتقة المادية):** نحسب: $$\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)$$ المشتقات الجزئية لمركبة $V_x$: $$\frac{\partial V_x}{\partial x} = 6t$$ $$\frac{\partial V_x}{\partial y} = z^2$$ $$\frac{\partial V_x}{\partial z} = 2yz$$ 5. **حساب مركبة العجلة $a_x$ عند $A(1,1,1)$ و $t=1$:** أولاً نحسب $V$ عند النقطة والوقت: $$V_x = 6 \times 1 \times 1 + 1 \times 1^2 = 6 + 1 = 7$$ $$V_y = 3 \times 1 + 1 \times 1^2 = 3 + 1 = 4$$ $$V_z = 1 \times 1 - 2 \times 1 \times 1 \times 1 - 6 \times 1 \times 1 = 1 - 2 - 6 = -7$$ ثم: $$(\mathbf{V} \cdot \nabla) V_x = V_x \frac{\partial V_x}{\partial x} + V_y \frac{\partial V_x}{\partial y} + V_z \frac{\partial V_x}{\partial z}$$ $$= 7 \times 6 \times 1 + 4 \times 1^2 + (-7) \times 2 \times 1 \times 1 = 42 + 4 - 14 = 32$$ 6. **نجمع المشتقة الزمنية والمادية:** $$a_x = \frac{\partial V_x}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla) V_x = 6 \times 1 + 32 = 6 + 32 = 38$$ **النتيجة النهائية:** $$a_x = 38$$ الإجابة الصحيحة هي (a) 38.