1. نبدأ ببيان المسألة: لدينا متجه السرعة لسريان غير قابل للانضغاط معطى ب $$\mathbf{V} = (6xt + yz^2)\mathbf{i} + (3t + xy^2)\mathbf{j} + (xy - 2xyz - 6tz)\mathbf{k}$$ ونريد حساب مركبة العجلة في اتجاه محور $z$ عند النقطة $(1,1,1)$ والزمن $t=1$. 2. العجلة (التسارع) هي مشتقة متجه السرعة بالنسبة للزمن: $$\mathbf{a} = \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla) \mathbf{V}$$ 3. نركز على مركبة $z$ من العجلة $a_z$، إذن: $$a_z = \frac{\partial V_z}{\partial t} + u \frac{\partial V_z}{\partial x} + v \frac{\partial V_z}{\partial y} + w \frac{\partial V_z}{\partial z}$$ حيث $$u = 6xt + yz^2, \quad v = 3t + xy^2, \quad w = xy - 2xyz - 6tz$$ 4. نحسب المشتقات الجزئية لمركبة السرعة $V_z = xy - 2xyz - 6tz$: $$\frac{\partial V_z}{\partial t} = -6z$$ $$\frac{\partial V_z}{\partial x} = y - 2yz$$ $$\frac{\partial V_z}{\partial y} = x - 2xz$$ $$\frac{\partial V_z}{\partial z} = -2xy - 6t$$ 5. نعوض القيم عند $(x,y,z) = (1,1,1)$ و $t=1$: $$u = 6 \times 1 \times 1 + 1 \times 1^2 = 6 + 1 = 7$$ $$v = 3 \times 1 + 1 \times 1^2 = 3 + 1 = 4$$ $$w = 1 \times 1 - 2 \times 1 \times 1 \times 1 - 6 \times 1 \times 1 = 1 - 2 - 6 = -7$$ $$\frac{\partial V_z}{\partial t} = -6 \times 1 = -6$$ $$\frac{\partial V_z}{\partial x} = 1 - 2 \times 1 = -1$$ $$\frac{\partial V_z}{\partial y} = 1 - 2 \times 1 = -1$$ $$\frac{\partial V_z}{\partial z} = -2 \times 1 \times 1 - 6 \times 1 = -2 - 6 = -8$$ 6. نحسب $a_z$: $$a_z = -6 + 7 \times (-1) + 4 \times (-1) + (-7) \times (-8)$$ $$a_z = -6 - 7 - 4 + 56 = 39$$ 7. إذن، مركبة العجلة في اتجاه محور $z$ عند النقطة والزمن المعطى هي: $$\boxed{39}$$ والخيار الصحيح هو (a) a_z=39.