1. نبدأ بكتابة متجه السرعة المعطى: $$\mathbf{V} = (6xt + yz^2)\mathbf{i} + (3t + xy^2)\mathbf{j} + (xy - 2xyz - 6tz)\mathbf{k}$$ 2. المطلوب هو مركبة العجلة في اتجاه محور $y$ عند النقطة $(1,1,1)$ والزمن $t=1$. 3. العجلة هي مشتقة متجه السرعة بالنسبة للزمن: $$\mathbf{a} = \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla) \mathbf{V}$$ 4. نحسب أولاً المشتقة الجزئية لمتجه السرعة بالنسبة للزمن: - بالنسبة للمركبة $i$: $$\frac{\partial}{\partial t}(6xt + yz^2) = 6x$$ - بالنسبة للمركبة $j$: $$\frac{\partial}{\partial t}(3t + xy^2) = 3$$ - بالنسبة للمركبة $k$: $$\frac{\partial}{\partial t}(xy - 2xyz - 6tz) = -6z$$ 5. عند النقطة $(x,y,z) = (1,1,1)$ و$t=1$: $$\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} = 6(1)\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 6(1)\mathbf{k} = 6\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 6\mathbf{k}$$ 6. نحسب متجه السرعة عند نفس النقطة والزمن: $$\mathbf{V} = (6 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1^2)\mathbf{i} + (3 \cdot 1 + 1 \cdot 1^2)\mathbf{j} + (1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 - 6 \cdot 1 \cdot 1)\mathbf{k} = (6 + 1)\mathbf{i} + (3 + 1)\mathbf{j} + (1 - 2 - 6)\mathbf{k} = 7\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 7\mathbf{k}$$ 7. نحسب التدرج (gradient) لكل مركبة من مركبات السرعة: - $$\nabla V_x = \left(\frac{\partial}{\partial x}(6xt + yz^2), \frac{\partial}{\partial y}(6xt + yz^2), \frac{\partial}{\partial z}(6xt + yz^2)\right) = (6t, z^2, 2yz)$$ - $$\nabla V_y = \left(\frac{\partial}{\partial x}(3t + xy^2), \frac{\partial}{\partial y}(3t + xy^2), \frac{\partial}{\partial z}(3t + xy^2)\right) = (y^2, 2xy, 0)$$ - $$\nabla V_z = \left(\frac{\partial}{\partial x}(xy - 2xyz - 6tz), \frac{\partial}{\partial y}(xy - 2xyz - 6tz), \frac{\partial}{\partial z}(xy - 2xyz - 6tz)\right) = (y - 2yz, x - 2xz, -2xy - 6t)$$ 8. عند النقطة والزمن المعطى: - $$\nabla V_x = (6 \cdot 1, 1^2, 2 \cdot 1 \cdot 1) = (6, 1, 2)$$ - $$\nabla V_y = (1^2, 2 \cdot 1 \cdot 1, 0) = (1, 2, 0)$$ - $$\nabla V_z = (1 - 2 \cdot 1 \cdot 1, 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1, -2 \cdot 1 \cdot 1 - 6 \cdot 1) = (-1, -1, -8)$$ 9. نحسب $(\mathbf{V} \cdot \nabla) V_y$: $$\mathbf{V} \cdot \nabla = 7 \frac{\partial}{\partial x} + 4 \frac{\partial}{\partial y} - 7 \frac{\partial}{\partial z}$$ تطبيق على $V_y$: $$ (\mathbf{V} \cdot \nabla) V_y = 7 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + (-7) \cdot 0 = 7 + 8 + 0 = 15$$ 10. إذن مركبة العجلة في اتجاه $y$: $$a_y = \frac{\partial V_y}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla) V_y = 3 + 15 = 18$$ **النتيجة النهائية:** $$a_y = 18$$ الإجابة الصحيحة هي (c) a_y=18.