1. **Ex1: Déterminer $C^0_E$, $C^1_E$, $C^2_E$ pour $E=[0,1]$, avec $A=[0,\frac{1}{2}]$, $B=]0,1[$, $C=[0,1]$** - $C^0_E$ est l'ensemble des fonctions continues sur $E$. - $C^1_E$ est l'ensemble des fonctions continûment dérivables sur $E$. - $C^2_E$ est l'ensemble des fonctions deux fois continûment dérivables sur $E$. 2. **Ex2: Déterminer $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$, $B \setminus A$ pour** $A = \{x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 2\} = [0,4]$ $B = \{x \in \mathbb{R} \mid \frac{2x}{x+1} \leq 0\}$ - Étudions le signe de $\frac{2x}{x+1} \leq 0$: - Zéros: $x=0$ - Interdit: $x=-1$ - Signe de $2x$ et $x+1$: - Pour $x<-1$, $2x<0$, $x+1<0$, donc fraction positive. - Pour $-10$, fraction négative. - Pour $x>0$, $2x>0$, $x+1>0$, fraction positive. - Donc $B = [-1,0]$ excluant $-1$ car dénominateur nul, donc $B = ]-1,0]$. - Intersections et unions: - $A \cap B = [0,4] \cap ]-1,0] = \{0\}$ - $A \cup B = [0,4] \cup ]-1,0] = ]-1,4]$ - $A \setminus B = [0,4] \setminus ]-1,0] = ]0,4]$ - $B \setminus A = ]-1,0] \setminus [0,4] = ]-1,0[$ 3. **Ex3: Simplifier** 1) $A \cap (A \cup B) = A$ 2) $(A \cap B) \cup (A \cup B) = A \cup B$ 3) $[A \cup (A \cap B)] \cup B = A \cup B$ 4) $(A \cap B) \cup (A \cap B) = A \cap B$ 4. **Ex4: Ensembles $E = \{x \in \mathbb{N} \mid x=2k, k \in \mathbb{N}\}$, $F = \{x \in \mathbb{N} \mid x=3k, k \in \mathbb{N}\}$, $G = \{x \in \mathbb{N} \mid x=6k, k \in \mathbb{N}\}$** 1) Montrer $G \subset E$ et $G \subset F$: - Tout $x=6k$ est multiple de 2 et de 3 donc dans $E$ et $F$. 2) Montrer $E \cap F = G$: - $E \cap F$ sont les multiples de 2 et 3, donc multiples de 6, donc $G$. 3) Déterminer $C^G_F$ (complémentaire de $G$ dans $F$): - $C^G_F = F \setminus G = \{3k \mid k \in \mathbb{N}, 3k \notin 6\mathbb{N}\} = \{3(2m+1) \mid m \in \mathbb{N}\}$ (multiples de 3 impairs). 5. **Ex5: $m \in \mathbb{R}_+^*$, $E = \{x \in \mathbb{R} \mid |x-1| < \frac{3}{m}\}$, $F = \{x \in \mathbb{R} \mid |x+1| < m\}$** 1) Montrer $E \neq \emptyset$: - $E$ est un intervalle ouvert centré en 1, de rayon $\frac{3}{m} > 0$, donc non vide. 2) Déterminer $m$ tel que $E$ et $F$ sont disjoints: - $E = (1 - \frac{3}{m}, 1 + \frac{3}{m})$ - $F = (-1 - m, -1 + m)$ - Pour qu'ils soient disjoints, $\max E < \min F$ ou $\max F < \min E$. - Étudions $\max E = 1 + \frac{3}{m}$ et $\min F = -1 - m$: - $1 + \frac{3}{m} < -1 - m \Rightarrow$ impossible car $1 + \frac{3}{m} > -1 - m$ pour $m>0$. - Étudions $\max F = -1 + m$ et $\min E = 1 - \frac{3}{m}$: - $-1 + m < 1 - \frac{3}{m} \Rightarrow m + \frac{3}{m} < 2$ - Posons $f(m) = m + \frac{3}{m}$, $m>0$. - $f(m) < 2$ implique $m^2 - 2m + 3 < 0$, discriminant $4 - 12 < 0$, pas de solution. - Donc $E$ et $F$ ne peuvent pas être disjoints. 6. **Ex6: Soient $A,B,C$ ensembles** 1a) Montrer $A \cup B = A \cup C \Rightarrow B \cap A^c = C \cap A^c$: - $A^c$ est complémentaire de $A$. - Si $A \cup B = A \cup C$, alors en dehors de $A$, $B$ et $C$ coïncident. 1b) En déduire $\overline{A \cup B} = \overline{A \cup C}$. 2a) Montrer $A \cup B = B \cap C \Rightarrow A \subset B \subset C$: - $A \cup B \subset B \cap C$ implique $A \subset B$ et $B \subset C$. 2b) Montrer $(A \cap B) \supset (A \cap C)$ et $B \cap A = C \cap A$ implique $B = C$. 7. **Ex7: Montrer $A \Delta B = (A \cup B) \cap (\overline{A} \cup \overline{B})$** - $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ - $= (A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{A})$ - $= (A \cup B) \cap (\overline{A} \cup \overline{B})$ par distributivité. 8. **Ex8: $E = \{1,2,3\}$, $F = \{a,b\}$** 1) $F \times E = \{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)\}$ $E \times F = \{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}$ $F^E$ est l'ensemble des fonctions de $E$ vers $F$, cardinal $|F|^{|E|} = 2^3 = 8$. 2) $P(F \times F)$ est l'ensemble des parties de $F \times F$, cardinal $2^{|F|^2} = 2^{4} = 16$. Final answers summarized: - Ex1: $C^0_E$, $C^1_E$, $C^2_E$ sont les fonctions continues, continûment dérivables, deux fois continûment dérivables sur $[0,1]$. - Ex2: $A \cap B = \{0\}$, $A \cup B = ]-1,4]$, $A \setminus B = ]0,4]$, $B \setminus A = ]-1,0[$. - Ex3: Simplifications données. - Ex4: $G \subset E$, $G \subset F$, $E \cap F = G$, $C^G_F$ = multiples de 3 impairs. - Ex5: $E \neq \emptyset$, $E$ et $F$ ne sont jamais disjoints. - Ex6: Propriétés d'ensembles démontrées. - Ex7: $A \Delta B = (A \cup B) \cap (\overline{A} \cup \overline{B})$. - Ex8: $F \times E$, $E \times F$, $F^E$ et $P(F \times F)$ déterminés.