1. **Énoncé du problème :** Soient les ensembles A = ]−∞, 1], B = ]−3, 4], D = ]−2, +∞[ dans ℝ. Déterminer les opérations suivantes : A ∪ B, A ∩ B^c, B ∩ D, ℝ/A, A/B, (ℝ/A) ∩ (ℝ/B), D^c/(A ∪ B), A Δ D, (A Δ D) Δ B. 2. **Formules et règles importantes :** - L'union $A \cup B$ est l'ensemble des éléments appartenant à $A$ ou $B$. - L'intersection $A \cap B$ est l'ensemble des éléments appartenant à la fois à $A$ et $B$. - Le complémentaire $B^c$ est l'ensemble des éléments de ℝ qui ne sont pas dans $B$. - La différence $A/B = A \setminus B$ est l'ensemble des éléments dans $A$ mais pas dans $B$. - La différence symétrique $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$. 3. **Calculs intermédiaires :** - $A \cup B = ]-\infty, 1] \cup ]-3, 4] = ]-\infty, 4]$ car $]-\infty,1]$ couvre tout avant 1 et $]-3,4]$ couvre de -3 à 4. - $B^c = \mathbb{R} \setminus B = ]-\infty, -3] \cup ]4, +\infty[$. - $A \cap B^c = ]-\infty, 1] \cap (]-\infty, -3] \cup ]4, +\infty[) = ]-\infty, 1] \cap ]-\infty, -3] = ]-\infty, -3]$ car $]4, +\infty[$ ne croise pas $]-\infty,1]$. - $B \cap D = ]-3,4] \cap ]-2, +\infty[ = ]-2,4]$. - $\mathbb{R}/A = \mathbb{R} \setminus A = ]1, +\infty[$. - $A/B = A \setminus B = ]-\infty, 1] \setminus ]-3,4] = ]-\infty, -3]$ car $]-3,4]$ couvre de -3 à 4, donc on enlève cette partie de $A$. - $(\mathbb{R}/A) \cap (\mathbb{R}/B) = ]1, +\infty[ \cap (]-\infty, -3] \cup ]4, +\infty[) = ]1, +\infty[ \cap ]4, +\infty[ = ]4, +\infty[$. - $D^c = \mathbb{R} \setminus D = ]-\infty, -2]$. - $D^c/(A \cup B) = ]-\infty, -2] \setminus ]-\infty, 4] = \varnothing$ car $]-\infty, 4]$ couvre tout jusqu'à 4. - $A \Delta D = (A \setminus D) \cup (D \setminus A) = (]-\infty, 1] \setminus ]-2, +\infty[) \cup (]-2, +\infty[ \setminus ]-\infty, 1]) = ]-\infty, -2] \cup ]1, +\infty[$. - $(A \Delta D) \Delta B = (]-\infty, -2] \cup ]1, +\infty[) \Delta ]-3,4] = ((]-\infty, -2] \cup ]1, +\infty[) \setminus ]-3,4]) \cup (]-3,4] \setminus (]-\infty, -2] \cup ]1, +\infty[))$. Calculons chaque partie : - $(]-\infty, -2] \cup ]1, +\infty[) \setminus ]-3,4] = (]-\infty, -2] \setminus ]-3,4]) \cup (]1, +\infty[ \setminus ]-3,4]) = ]-\infty, -3] \cup ]4, +\infty[$. - $]-3,4] \setminus (]-\infty, -2] \cup ]1, +\infty[) = ]-3,4] \setminus (]-\infty, -2] \cup ]1, +\infty[) = ]-2,1]$. Donc $(A \Delta D) \Delta B = ]-\infty, -3] \cup ]4, +\infty[ \cup ]-2,1] = ]-\infty, -3] \cup ]-2,1] \cup ]4, +\infty[$. 4. **Réponses finales :** - $A \cup B = ]-\infty, 4]$ - $A \cap B^c = ]-\infty, -3]$ - $B \cap D = ]-2, 4]$ - $\mathbb{R}/A = ]1, +\infty[$ - $A/B = ]-\infty, -3]$ - $(\mathbb{R}/A) \cap (\mathbb{R}/B) = ]4, +\infty[$ - $D^c/(A \cup B) = \varnothing$ - $A \Delta D = ]-\infty, -2] \cup ]1, +\infty[$ - $(A \Delta D) \Delta B = ]-\infty, -3] \cup ]-2, 1] \cup ]4, +\infty[$ --- **Note :** Les autres exercices sont très volumineux et demandent des représentations graphiques et démonstrations formelles. Si vous souhaitez, je peux traiter un exercice spécifique ou une partie en détail.