1. Montrons que $ (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C) $. 2. Rappelons les propriétés des ensembles : - $X \cup Y$ est l'union des ensembles $X$ et $Y$. - $X \cap Y$ est l'intersection des ensembles $X$ et $Y$. 3. Pour montrer l'égalité, montrons l'inclusion dans les deux sens. 4. Soit $x \in (A \cap B) \cup C$. Alors $x \in A \cap B$ ou $x \in C$. - Si $x \in A \cap B$, alors $x \in A$ et $x \in B$, donc $x \in A \cup C$ et $x \in B \cup C$. - Si $x \in C$, alors $x \in A \cup C$ et $x \in B \cup C$. Donc $x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$. 5. Réciproquement, soit $x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$. Alors $x \in A \cup C$ et $x \in B \cup C$. - Si $x \in C$, alors $x \in (A \cap B) \cup C$. - Sinon, $x \in A$ et $x \in B$, donc $x \in A \cap B$, donc $x \in (A \cap B) \cup C$. 6. Conclusion : $ (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C) $. 7. Pour les autres égalités : - $ (A) = A $ est une notation ambiguë, probablement une erreur ou une notation non définie, donc on ne peut pas démontrer cela sans précision. 8. Montrons que $ A \cap B = A \cup B $ implique que $A = B$. - En général, $A \cap B \subseteq A \cup B$, mais l'égalité est rare. - Si $A \cap B = A \cup B$, alors pour tout $x$, $x \in A \cap B$ si et seulement si $x \in A \cup B$. - Cela signifie que $A = B$. 9. De même, $ A \cup B = A \cap B $ implique $A = B$. 10. En résumé, les égalités 3 et 4 ne sont vraies que si $A = B$. Réponses finales : - $ (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C) $ est toujours vrai. - $ (A) = A $ nécessite clarification. - $ A \cap B = A \cup B $ et $ A \cup B = A \cap B $ sont vraies seulement si $A = B$.