1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación diferencial de valor inicial $$\frac{dy}{dx} + 2y = e^{2x}, \quad y(0) = 4.$$\n\n2. Identificamos que es una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma $$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x),$$ donde $$P(x) = 2$$ y $$Q(x) = e^{2x}.$$\n\n3. Calculamos el factor integrante $$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int 2 dx} = e^{2x}.$$\n\n4. Multiplicamos toda la ecuación diferencial por $$\mu(x)$$ para obtener:\n$$e^{2x} \frac{dy}{dx} + 2 e^{2x} y = e^{2x} e^{2x} = e^{4x}.$$\n\n5. Observamos que el lado izquierdo es la derivada del producto $$\frac{d}{dx} \left( y e^{2x} \right) = e^{4x}.$$\n\n6. Integramos ambos lados respecto a $$x$$:\n$$\int \frac{d}{dx} \left( y e^{2x} \right) dx = \int e^{4x} dx \implies y e^{2x} = \frac{e^{4x}}{4} + C,$$ donde $$C$$ es la constante de integración.\n\n7. Despejamos $$y$$:\n$$y = e^{-2x} \left( \frac{e^{4x}}{4} + C \right) = \frac{e^{2x}}{4} + C e^{-2x}.$$\n\n8. Aplicamos la condición inicial $$y(0) = 4$$ para encontrar $$C$$:\n$$4 = \frac{e^{0}}{4} + C e^{0} = \frac{1}{4} + C \implies C = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}.$$\n\n9. Finalmente, la solución particular es:\n$$y = \frac{e^{2x}}{4} + \frac{15}{4} e^{-2x}.$$