1. **Planteamiento del problema:** Resolver la ecuación diferencial $$3 y'' - 5 y' + 2 y = -2 e^x$$. 2. **Ecuación característica:** Para la homogénea asociada $$3 y'' - 5 y' + 2 y = 0$$, planteamos $$3 r^2 - 5 r + 2 = 0$$. 3. **Solución de la ecuación característica:** Usamos la fórmula cuadrática $$r = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6} = \frac{5 \pm 1}{6}$$. 4. **Raíces:** $$r_1 = 1$$ y $$r_2 = \frac{2}{3}$$. 5. **Solución general homogénea:** $$y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{\frac{2}{3} x}$$. 6. **Solución particular:** Proponemos $$y_p = A x e^{x}$$ porque el término $$e^x$$ está en la homogénea. 7. **Derivadas:** $$y_p' = A e^{x} + A x e^{x}$$, $$y_p'' = 2 A e^{x} + A x e^{x}$$. 8. **Sustituimos en la ecuación original:** $$3 (2 A e^{x} + A x e^{x}) - 5 (A e^{x} + A x e^{x}) + 2 (A x e^{x}) = -2 e^{x}$$. 9. **Simplificamos:** $$6 A e^{x} + 3 A x e^{x} - 5 A e^{x} - 5 A x e^{x} + 2 A x e^{x} = -2 e^{x}$$ $$ (6 A - 5 A) e^{x} + (3 A - 5 A + 2 A) x e^{x} = -2 e^{x}$$ $$ A e^{x} + 0 \, x e^{x} = -2 e^{x}$$ 10. **Igualamos coeficientes:** $$A = -2$$. 11. **Solución particular:** $$y_p = -2 x e^{x}$$. 12. **Solución general completa:** $$y = C_1 e^{x} + C_2 e^{\frac{2}{3} x} - 2 x e^{x}$$. **Respuesta final:** $$\boxed{y = C_1 e^{x} + C_2 e^{\frac{2}{3} x} - 2 x e^{x}}$$