1. El problema es resolver la ecuación diferencial de orden cuatro: $$y^{(IV)} - 16 y = 4 - 2 x$$ 2. Primero, resolvemos la ecuación homogénea asociada: $$y^{(IV)} - 16 y = 0$$ La ecuación característica es: $$r^4 - 16 = 0$$ 3. Factorizamos: $$r^4 = 16 \implies r^2 = \pm 4$$ Esto da dos casos: - Para $r^2 = 4$, $r = \pm 2$ - Para $r^2 = -4$, $r = \pm 2i$ 4. Por lo tanto, la solución general homogénea es: $$y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + C_3 \cos(2x) + C_4 \sin(2x)$$ 5. Ahora, buscamos una solución particular $y_p$ para la ecuación completa: $$y^{(IV)} - 16 y = 4 - 2 x$$ El término del lado derecho es un polinomio de grado 1, por lo que proponemos una solución particular polinómica de grado 1: $$y_p = A x + B$$ 6. Calculamos las derivadas necesarias: $$y_p' = A$$ $$y_p'' = 0$$ $$y_p^{(IV)} = 0$$ 7. Sustituimos en la ecuación diferencial: $$0 - 16 (A x + B) = 4 - 2 x$$ Simplificando: $$-16 A x - 16 B = 4 - 2 x$$ 8. Igualamos coeficientes de términos semejantes: Para $x$: $$-16 A = -2 \implies A = \frac{1}{8}$$ Para término independiente: $$-16 B = 4 \implies B = -\frac{1}{4}$$ 9. Por lo tanto, la solución particular es: $$y_p = \frac{1}{8} x - \frac{1}{4}$$ 10. La solución general completa es: $$y = y_h + y_p = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + C_3 \cos(2x) + C_4 \sin(2x) + \frac{1}{8} x - \frac{1}{4}$$ Esta es la solución general de la ecuación dada.