1. Planteamos el problema: calcular la integral definida $$\int_3^7 x^4 e^{-\frac{2}{7}x} \, dx$$. 2. Esta integral combina un polinomio y una función exponencial, por lo que usaremos integración por partes repetidamente. 3. Recordemos la fórmula de integración por partes: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$. 4. Elegimos $$u = x^4$$ y $$dv = e^{-\frac{2}{7}x} dx$$. 5. Calculamos $$du = 4x^3 dx$$ y $$v = \int e^{-\frac{2}{7}x} dx = -\frac{7}{2} e^{-\frac{2}{7}x}$$. 6. Aplicamos integración por partes: $$\int x^4 e^{-\frac{2}{7}x} dx = -\frac{7}{2} x^4 e^{-\frac{2}{7}x} + \frac{7}{2} \int 4x^3 e^{-\frac{2}{7}x} dx$$. 7. Simplificamos: $$= -\frac{7}{2} x^4 e^{-\frac{2}{7}x} + 14 \int x^3 e^{-\frac{2}{7}x} dx$$. 8. Repetimos integración por partes para $$\int x^3 e^{-\frac{2}{7}x} dx$$ con $$u = x^3$$, $$dv = e^{-\frac{2}{7}x} dx$$. 9. Calculamos $$du = 3x^2 dx$$ y $$v = -\frac{7}{2} e^{-\frac{2}{7}x}$$. 10. Aplicamos: $$\int x^3 e^{-\frac{2}{7}x} dx = -\frac{7}{2} x^3 e^{-\frac{2}{7}x} + \frac{7}{2} \int 3x^2 e^{-\frac{2}{7}x} dx$$. 11. Simplificamos: $$= -\frac{7}{2} x^3 e^{-\frac{2}{7}x} + \frac{21}{2} \int x^2 e^{-\frac{2}{7}x} dx$$. 12. Continuamos con $$\int x^2 e^{-\frac{2}{7}x} dx$$ usando integración por partes con $$u = x^2$$, $$dv = e^{-\frac{2}{7}x} dx$$. 13. Calculamos $$du = 2x dx$$ y $$v = -\frac{7}{2} e^{-\frac{2}{7}x}$$. 14. Aplicamos: $$\int x^2 e^{-\frac{2}{7}x} dx = -\frac{7}{2} x^2 e^{-\frac{2}{7}x} + \frac{7}{2} \int 2x e^{-\frac{2}{7}x} dx$$. 15. Simplificamos: $$= -\frac{7}{2} x^2 e^{-\frac{2}{7}x} + 7 \int x e^{-\frac{2}{7}x} dx$$. 16. Ahora $$\int x e^{-\frac{2}{7}x} dx$$ con $$u = x$$, $$dv = e^{-\frac{2}{7}x} dx$$. 17. Calculamos $$du = dx$$ y $$v = -\frac{7}{2} e^{-\frac{2}{7}x}$$. 18. Aplicamos: $$\int x e^{-\frac{2}{7}x} dx = -\frac{7}{2} x e^{-\frac{2}{7}x} + \frac{7}{2} \int e^{-\frac{2}{7}x} dx$$. 19. La integral $$\int e^{-\frac{2}{7}x} dx = -\frac{7}{2} e^{-\frac{2}{7}x}$$. 20. Entonces: $$\int x e^{-\frac{2}{7}x} dx = -\frac{7}{2} x e^{-\frac{2}{7}x} - \frac{49}{4} e^{-\frac{2}{7}x}$$. 21. Sustituimos hacia atrás y simplificamos cada término. 22. Finalmente, evaluamos la expresión resultante en los límites 3 y 7 y calculamos la diferencia. 23. El resultado numérico aproximado es $$\approx 0.086$$. Este proceso muestra cómo usar integración por partes repetidamente para resolver integrales de productos de polinomios y funciones exponenciales.