1. El problema es calcular la integral $$\int x \ln(x) \, dx$$ usando integración por partes. 2. La fórmula de integración por partes es $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$. 3. Elegimos $$u = \ln(x)$$ y $$dv = x \, dx$$ porque derivar $$\ln(x)$$ simplifica y $$x \, dx$$ es fácil de integrar. 4. Calculamos $$du = \frac{1}{x} \, dx$$ y $$v = \frac{x^2}{2}$$. 5. Aplicamos la fórmula: $$\int x \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x \, dx$$ 6. Resolvemos la integral restante: $$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$$ 7. Sustituimos y simplificamos: $$\frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C$$ 8. Por lo tanto, la solución final es: $$\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C$$