1. **Problema:** Calcular a integral de linha $$\int_C (2x - \sqrt{y}) \, ds$$ ao longo da parábola $$y = x^2$$ de $$(0,0)$$ a $$(2,4)$$. 2. **Fórmula:** Para uma curva parametrizada por $$\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$$, o elemento de arco é $$ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$$. 3. **Parametrização:** Como $$y = x^2$$, podemos usar $$x = t$$, $$y = t^2$$ com $$t$$ variando de 0 a 2. 4. **Derivadas:** $$\frac{dx}{dt} = 1$$ e $$\frac{dy}{dt} = 2t$$. 5. **Elemento de arco:** $$ds = \sqrt{1^2 + (2t)^2} dt = \sqrt{1 + 4t^2} dt$$. 6. **Função integranda:** $$2x - \sqrt{y} = 2t - t = t$$. 7. **Integral:** $$\int_0^2 t \sqrt{1 + 4t^2} dt$$. 8. **Substituição:** Seja $$u = 1 + 4t^2$$, então $$du = 8t dt$$, ou $$t dt = \frac{du}{8}$$. 9. **Limites em $$u$$:** Quando $$t=0$$, $$u=1$$; quando $$t=2$$, $$u=1 + 4 \times 4 = 17$$. 10. **Integral em $$u$$:** $$\int_1^{17} \sqrt{u} \frac{du}{8} = \frac{1}{8} \int_1^{17} u^{1/2} du = \frac{1}{8} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{17} = \frac{1}{12} (17^{3/2} - 1)$$. 11. **Resultado final:** $$\int_C (2x - \sqrt{y}) ds = \frac{17 \sqrt{17} - 1}{12}$$.