1. Énonçons le problème : Calculer l'intégrale $$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{1 + \cos x + \cos 2x} \, dx$$. 2. Simplifions le dénominateur : Utilisons l'identité $$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$$. Donc, $$1 + \cos x + \cos 2x = 1 + \cos x + 2\cos^2 x - 1 = \cos x + 2\cos^2 x$$. 3. Factorisons le dénominateur : $$\cos x + 2\cos^2 x = \cos x (1 + 2\cos x)$$. 4. L'intégrale devient : $$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos x (1 + 2\cos x)} \, dx$$. 5. Posons $$t = \cos x$$, alors $$dt = -\sin x \, dx$$, donc $$\sin x \, dx = -dt$$. 6. Les bornes changent : - Quand $$x=0$$, $$t=\cos 0 = 1$$. - Quand $$x=\frac{\pi}{4}$$, $$t=\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. 7. L'intégrale devient : $$\int_{t=1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{-dt}{t(1+2t)} = -\int_1^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{dt}{t(1+2t)}$$. 8. Changeons l'ordre des bornes pour enlever le signe négatif : $$= \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 \frac{dt}{t(1+2t)}$$. 9. Décomposons en fractions partielles : $$\frac{1}{t(1+2t)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1+2t}$$. 10. Multiplions par $$t(1+2t)$$ : $$1 = A(1+2t) + Bt = A + 2At + Bt = A + t(2A + B)$$. 11. Égalons les coefficients : - Coefficient de $$t$$ : $$0 = 2A + B$$ - Terme constant : $$1 = A$$ Donc $$A=1$$, $$B = -2$$. 12. L'intégrale devient : $$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 \left( \frac{1}{t} - \frac{2}{1+2t} \right) dt = \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 \frac{1}{t} dt - 2 \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 \frac{1}{1+2t} dt$$. 13. Calculons chaque intégrale : - $$\int \frac{1}{t} dt = \ln |t|$$ - Pour $$\int \frac{1}{1+2t} dt$$, posons $$u=1+2t$$, alors $$du=2 dt$$, donc $$dt = \frac{du}{2}$$. Donc, $$\int \frac{1}{1+2t} dt = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln |1+2t| + C$$. 14. Donc, $$-2 \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 \frac{1}{1+2t} dt = -2 \left[ \frac{1}{2} \ln |1+2t| \right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 = - \left[ \ln |1+2t| \right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 = - \ln(1+2) + \ln \left(1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$ 15. Calcul final : $$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 \frac{1}{t} dt = \ln 1 - \ln \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 - \ln \frac{\sqrt{2}}{2} = - \ln \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 16. L'intégrale totale est : $$- \ln \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln 3 + \ln \left(1 + \sqrt{2} \right) = \ln \left( \frac{1 + \sqrt{2}}{3} \right) - \ln \frac{\sqrt{2}}{2} = \ln \left( \frac{(1 + \sqrt{2}) \cdot 2}{3 \sqrt{2}} \right)$$ 17. Simplifions : $$\boxed{\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{1 + \cos x + \cos 2x} \, dx = \ln \left( \frac{2(1 + \sqrt{2})}{3 \sqrt{2}} \right)}$$