1. **Énoncé du problème** : Calculer l'intégrale $$\int \frac{dx}{2x^{2} + 8x + 20}$$. 2. **Formule et méthode** : Pour intégrer une fonction rationnelle avec un polynôme quadratique au dénominateur, on peut compléter le carré pour simplifier l'expression et utiliser la primitive de la fonction arctangente : $$\int \frac{dx}{x^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$$ 3. **Compléter le carré** : On commence par factoriser le coefficient devant $x^2$ : $$2x^{2} + 8x + 20 = 2(x^{2} + 4x + 10)$$ Puis on complète le carré à l'intérieur des parenthèses : $$x^{2} + 4x + 10 = (x^{2} + 4x + 4) + 6 = (x + 2)^{2} + 6$$ Donc : $$2x^{2} + 8x + 20 = 2\left((x + 2)^{2} + 6\right)$$ 4. **Substitution** : Posons $u = x + 2$, donc $du = dx$. L'intégrale devient : $$\int \frac{dx}{2((x + 2)^{2} + 6)} = \int \frac{du}{2(u^{2} + 6)} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u^{2} + (\sqrt{6})^{2}}$$ 5. **Utilisation de la primitive arctangente** : On applique la formule : $$\int \frac{du}{u^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C$$ Ici, $a = \sqrt{6}$, donc : $$\frac{1}{2} \int \frac{du}{u^{2} + (\sqrt{6})^{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{6}} \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{6}}\right) + C = \frac{1}{2\sqrt{6}} \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{6}}\right) + C$$ 6. **Retour à la variable $x$** : $$\int \frac{dx}{2x^{2} + 8x + 20} = \frac{1}{2\sqrt{6}} \arctan\left(\frac{x + 2}{\sqrt{6}}\right) + C$$ **Réponse finale** : $$\boxed{\int \frac{dx}{2x^{2} + 8x + 20} = \frac{1}{2\sqrt{6}} \arctan\left(\frac{x + 2}{\sqrt{6}}\right) + C}$$