1. Énoncé du problème : Calculer le nombre dérivé de la fonction $f(x) = \frac{2}{2x + 5}$ en $a = 0$. 2. Formule utilisée : La dérivée d'une fonction rationnelle $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ est donnée par $$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$$ 3. Calcul des dérivées des fonctions $u(x)$ et $v(x)$ : - $u(x) = 2$ donc $u'(x) = 0$ - $v(x) = 2x + 5$ donc $v'(x) = 2$ 4. Application de la formule : $$f'(x) = \frac{0 \cdot (2x + 5) - 2 \cdot 2}{(2x + 5)^2} = \frac{-4}{(2x + 5)^2}$$ 5. Évaluation en $a = 0$ : $$f'(0) = \frac{-4}{(2 \cdot 0 + 5)^2} = \frac{-4}{25}$$ --- 6. Énoncé du problème : Calculer le nombre dérivé de la fonction $f(x) = (x - 3)(x + 1)$ en $a = 3$. 7. Développement de la fonction : $$f(x) = x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 2x - 3$$ 8. Dérivée de $f(x)$ : $$f'(x) = 2x - 2$$ 9. Évaluation en $a = 3$ : $$f'(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$$ Réponses finales : - Pour $f(x) = \frac{2}{2x + 5}$ en $a=0$, $f'(0) = \frac{-4}{25}$ - Pour $f(x) = (x - 3)(x + 1)$ en $a=3$, $f'(3) = 4$