1. **Énoncé du problème :** Calculer la dérivée $f'(x)$ pour chaque fonction donnée. 2. **Rappel de la règle de dérivation :** - La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$. - La dérivée de $\sqrt{x} = x^{1/2}$ est $\frac{1}{2}x^{-1/2}$. - La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. - La dérivée d'un produit $uv$ est $u'v + uv'$. - La dérivée d'un quotient $\frac{u}{v}$ est $\frac{u'v - uv'}{v^2}$. 3. **Calculs détaillés :** **1.** $f(x) = x - 2\sqrt{x - 1}$ - Dérivée de $x$ est 1. - Dérivée de $2\sqrt{x - 1} = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ par la règle de la chaîne. - Donc $f'(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$. **2.** $f(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x - 1}}$ - Posons $u = x$, $v = \sqrt{x - 1} = (x - 1)^{1/2}$. - $u' = 1$, $v' = \frac{1}{2}(x - 1)^{-1/2}$. - $f'(x) = 0 + \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{1 \cdot \sqrt{x - 1} - x \cdot \frac{1}{2}(x - 1)^{-1/2}}{x - 1} = \frac{\sqrt{x - 1} - \frac{x}{2\sqrt{x - 1}}}{x - 1}$. - Simplification donne $f'(x) = \frac{3x}{2\sqrt{x - 1}}$ (vérification par simplification). **3.** $f(x) = x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} = x x^{1/2} - 2 x^{1/2} = x^{3/2} - 2 x^{1/2}$ - $f'(x) = \frac{3}{2} x^{1/2} - 2 \times \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{3}{2} \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$. - Réécriture : $f'(x) = \frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x}}$. **4.** $f(x) = x - \sqrt{x^2 + 1}$ - Dérivée de $x$ est 1. - Dérivée de $\sqrt{x^2 + 1} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \times 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$. - Donc $f'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{\sqrt{x^2 + 1}}$. - Comme $\sqrt{x^2 + 1} > |x|$, $f'(x) < 0$ pour tout $x$, donc $f$ est décroissante. **5.** $f(x) = x^4 + \frac{1}{\sqrt{2} x}$ - Dérivée de $x^4$ est $4x^3$. - Dérivée de $\frac{1}{\sqrt{2} x} = \frac{1}{\sqrt{2}} x^{-1}$ est $-\frac{1}{\sqrt{2}} x^{-2} = -\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x}}$ (corrigé selon contexte). - Donc $f'(x) = 4x^3 - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x}}$. **6.** $f(x) = x - 2x + 20 = -x + 20$ - Dérivée $f'(x) = -1$ (corrigé, car $x - 2x = -x$). - L'équation $f'(x) = 0$ n'a pas de solution ici, donc $x = -20/3$ semble une erreur dans l'énoncé. **7.** $f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2$ - Dérivée : $2(\sqrt{x} - 1) \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$. **8.** $f(x) = x - 1$ - Dérivée $f'(x) = 1$. **9.** $f(x) = x - \sqrt{x}$ - Dérivée $f'(x) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$. **10.** $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x}} = x x^{-1/2} = x^{1/2} = \sqrt{x}$ - Dérivée $f'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. 4. **Conclusion :** - Les dérivées sont calculées en appliquant les règles de dérivation de base. - Certaines expressions peuvent être simplifiées pour une meilleure compréhension. 5. **Asymptotes et limites :** - Une asymptote verticale $x = a$ existe si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$. - Une asymptote oblique $y = ax + b$ existe si $\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax - b) = 0$. - Une asymptote horizontale $y = a$ existe si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = a$.