1. Énonçons le problème : Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = 2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2)$.\n\n2. Rappelons la formule de dérivation du produit : si $f(x) = u(x)v(x)$, alors $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.\n\n3. Posons $u(x) = 2(\sqrt{x} - 1)$ et $v(x) = (\sqrt{x} - 2)$. Calculons $u'(x)$ et $v'(x)$.\n\n4. La dérivée de $\sqrt{x}$ est $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Donc :\n\n$u'(x) = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$\n\n$v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$\n\n5. Appliquons la formule du produit :\n\n$$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 2) + 2(\sqrt{x} - 1) \times \frac{1}{2\sqrt{x}}$$\n\n6. Simplifions chaque terme :\n\n$\frac{1}{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 2) = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}}$\n\n$2(\sqrt{x} - 1) \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$\n\n7. Additionnons les deux résultats :\n\n$f'(x) = \left(1 - \frac{2}{\sqrt{x}}\right) + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 2 - \frac{3}{\sqrt{x}}$\n\n8. Conclusion : La dérivée de la fonction est $$f'(x) = 2 - \frac{3}{\sqrt{x}}$$.