1. **Énoncé du problème** : Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = x\sqrt{3-x}$.\n\n2. **Formule utilisée** : Pour dériver un produit $u(x)v(x)$, on utilise la règle du produit : $$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$\n\n3. **Identification des fonctions** : Ici, $u(x) = x$ et $v(x) = \sqrt{3-x} = (3-x)^{1/2}$.\n\n4. **Calcul des dérivées partielles** :\n- $u'(x) = 1$\n- Pour $v'(x)$, on utilise la règle de la chaîne : $$v'(x) = \frac{1}{2}(3-x)^{-1/2} \times (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{3-x}}$$\n\n5. **Application de la règle du produit** :\n$$f'(x) = 1 \times \sqrt{3-x} + x \times \left(-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}\right) = \sqrt{3-x} - \frac{x}{2\sqrt{3-x}}$$\n\n6. **Mise au même dénominateur** :\n$$f'(x) = \frac{2(3-x)}{2\sqrt{3-x}} - \frac{x}{2\sqrt{3-x}} = \frac{2(3-x) - x}{2\sqrt{3-x}} = \frac{6 - 2x - x}{2\sqrt{3-x}} = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{3-x}}$$\n\n7. **Réponse finale** :\n$$\boxed{f'(x) = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{3-x}}}$$