1. Planteamos el problema: La nave espacial sigue la trayectoria \( \vec{r}(t) = (\cos t, \sin t, t) \) con \( t \geq 0 \). Se pide: a) Calcular la velocidad de la nave al llegar al punto \( P = (0, 1, \pi) \). b) Calcular la distancia recorrida por la nave para alcanzar el punto \( P \). 2. Para encontrar el tiempo \( t \) en que la nave está en \( P \), igualamos las componentes: \[ \cos t = 0, \quad \sin t = 1, \quad t = \pi \] La condición \( \cos t = 0 \) y \( \sin t = 1 \) ocurre en \( t = \frac{\pi}{2} \), pero la componente \( z = t \) debe ser \( \pi \), entonces \( t = \pi \) es el tiempo correcto para el punto \( P \). 3. a) La velocidad es la derivada de \( \vec{r}(t) \): \[ \vec{v}(t) = \frac{d}{dt} (\cos t, \sin t, t) = (-\sin t, \cos t, 1) \] Evaluamos en \( t = \pi \): \[ \vec{v}(\pi) = (-\sin \pi, \cos \pi, 1) = (0, -1, 1) \] La velocidad en \( P \) es \( \vec{v}(\pi) = (0, -1, 1) \). 4. b) La distancia recorrida es la longitud del arco desde \( t=0 \) hasta \( t=\pi \): \[ s = \int_0^{\pi} \| \vec{v}(t) \| dt = \int_0^{\pi} \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} dt = \int_0^{\pi} \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} dt \] \[ = \int_0^{\pi} \sqrt{1 + 1} dt = \int_0^{\pi} \sqrt{2} dt = \sqrt{2} \pi \] 5. Resumen: a) Velocidad en \( P \): \( \vec{v}(\pi) = (0, -1, 1) \) b) Distancia recorrida hasta \( P \): \( s = \sqrt{2} \pi \)