1. Planteamos el problema: calcular la integral de línea del campo vectorial dado a lo largo de las curvas y la recta indicadas. 2. Para el inciso (a), la recta entre (0,0,0) y (2,1,3) se parametra como $$\mathbf{r}(t) = (2t, t, 3t), \quad 0 \leq t \leq 1.$$ El campo es $$\mathbf{F}(x,y,z) = 3x^2 \mathbf{i} + (2xz - y) \mathbf{j} + z \mathbf{k}.$$ Evaluamos $$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = 3(2t)^2 \mathbf{i} + (2 (2t)(3t) - t) \mathbf{j} + 3t \mathbf{k} = 12 t^2 \mathbf{i} + (12 t^2 - t) \mathbf{j} + 3 t \mathbf{k}.$$ La derivada es $$\mathbf{r}'(t) = (2, 1, 3).$$ 3. La integral de línea es $$\int_0^1 \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) dt = \int_0^1 (12 t^2, 12 t^2 - t, 3 t) \cdot (2, 1, 3) dt = \int_0^1 (24 t^2 + 12 t^2 - t + 9 t) dt = \int_0^1 (36 t^2 + 8 t) dt.$$ 4. Evaluamos la integral: $$\int_0^1 36 t^2 dt + \int_0^1 8 t dt = 36 \cdot \frac{t^3}{3} \Big|_0^1 + 8 \cdot \frac{t^2}{2} \Big|_0^1 = 12 + 4 = 16.$$ 5. Para el inciso (b), la curva está dada por $$x = 2 t^2, y = t, z = 4 t^2 - t, 0 \leq t \leq 1.$$ Parametrizamos como $$\mathbf{r}(t) = (2 t^2, t, 4 t^2 - t).$$ Entonces $$\mathbf{r}'(t) = (4 t, 1, 8 t - 1).$$ 6. Evaluamos $$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = 3 (2 t^2)^2 \mathbf{i} + (2 (2 t^2)(4 t^2 - t) - t) \mathbf{j} + (4 t^2 - t) \mathbf{k} = 12 t^4 \mathbf{i} + (16 t^4 - 4 t^3 - t) \mathbf{j} + (4 t^2 - t) \mathbf{k}.$$ 7. El producto punto es $$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = 12 t^4 (4 t) + (16 t^4 - 4 t^3 - t)(1) + (4 t^2 - t)(8 t - 1) = 48 t^5 + 16 t^4 - 4 t^3 - t + (32 t^3 - 4 t^2 - 8 t^2 + t) = 48 t^5 + 16 t^4 + 28 t^3 - 12 t^2.$$ Simplificando y cancelando: el término $$- t + t$$ se cancela. 8. Integramos desde $0$ hasta $1$: $$\int_0^1 (48 t^5 + 16 t^4 + 28 t^3 - 12 t^2) dt = 48 \cdot \frac{1}{6} + 16 \cdot \frac{1}{5} + 28 \cdot \frac{1}{4} - 12 \cdot \frac{1}{3} = 8 + 3.2 + 7 - 4 = 14.2.$$ 9. Para el inciso (c), la curva está dada implícitamente por $$x^2 = 4 y \implies y = \frac{x^2}{4}$$ y $$3 x^3 = 8 z \implies z = \frac{3 x^3}{8}.$$ Parametrizamos usando $x = t$ para $0 \leq t \leq 2.2$. 10. Entonces $$\mathbf{r}(t) = \left(t, \frac{t^2}{4}, \frac{3 t^3}{8}\right),$$ y $$\mathbf{r}'(t) = \left(1, \frac{t}{2}, \frac{9 t^2}{8}\right).$$ 11. Evaluamos $$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = 3 t^2 \mathbf{i} + \left(2 t \cdot \frac{3 t^3}{8} - \frac{t^2}{4}\right) \mathbf{j} + \frac{3 t^3}{8} \mathbf{k} = 3 t^2 \mathbf{i} + \left(\frac{3 t^4}{4} - \frac{t^2}{4}\right) \mathbf{j} + \frac{3 t^3}{8} \mathbf{k}.$$ 12. El producto punto es $$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r'}(t) = 3 t^2 (1) + \left(\frac{3 t^4}{4} - \frac{t^2}{4}\right) \frac{t}{2} + \frac{3 t^3}{8} \cdot \frac{9 t^2}{8} = 3 t^2 + \left(\frac{3 t^4}{4} - \frac{t^2}{4}\right) \frac{t}{2} + \frac{27 t^5}{64} = 3 t^2 + \frac{3 t^5}{8} - \frac{t^3}{8} + \frac{27 t^5}{64}.$$ 13. Sumando coeficientes de los términos en $t^5$: $$\frac{3 t^5}{8} + \frac{27 t^5}{64} = \frac{24 t^5}{64} + \frac{27 t^5}{64} = \frac{51 t^5}{64}.$$ La expresión es entonces $$3 t^2 - \frac{t^3}{8} + \frac{51 t^5}{64}.$$ 14. Integramos de 0 a 2.2: $$\int_0^{2.2} \left(3 t^2 - \frac{t^3}{8} + \frac{51 t^5}{64}\right) dt = \left(t^3 - \frac{t^4}{32} + \frac{51 t^6}{384}\right) \Big|_0^{2.2}.$$ Calculamos: $$2.2^3 = 10.648,$$ $$2.2^4 = 23.4256,$$ $$2.2^6 = (2.2^3)^2 = 10.648^2 = 113.3.$$ Entonces: $$10.648 - \frac{23.4256}{32} + \frac{51 \times 113.3}{384} = 10.648 - 0.732 + 15.05 = 24.97.$$ Respuesta final: (a) Integral = 16 (b) Integral \approx 14.2 (c) Integral \approx 24.97