1. Enunciado: Calcular si el campo vectorial $$\mathbf{F} = \left(\frac{2x}{x^2 + y^2}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{2y}{x^2 + y^2}\right)\mathbf{j}$$ es conservativo en el dominio interior del círculo de radio 2 y centro en (9,0).\n\n2. Un campo vectorial $$\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j}$$ es conservativo en un dominio si existe una función potencial $$\phi$$ tal que $$\nabla \phi = \mathbf{F}$$, o equivalente si $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$$ en un dominio simplemente conexo.\n\n3. Identificamos $$P = \frac{2x}{x^2 + y^2}$$ y $$Q = \frac{2y}{x^2 + y^2}$$.\n\n4. Calculamos $$\frac{\partial P}{\partial y}$$:\n$$\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{2x}{x^2 + y^2} \right) = 2x \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{x^2 + y^2} \right) = 2x \cdot \left( -\frac{2y}{(x^2 + y^2)^2} \right) = - \frac{4xy}{(x^2 + y^2)^2}$$\n\n5. Calculamos $$\frac{\partial Q}{\partial x}$$:\n$$\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{2y}{x^2 + y^2} \right) = 2y \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{x^2 + y^2} \right) = 2y \cdot \left( - \frac{2x}{(x^2 + y^2)^2} \right) = - \frac{4xy}{(x^2 + y^2)^2}$$\n\n6. Observamos que $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = - \frac{4xy}{(x^2 + y^2)^2}$$ para todo $$x,y$$ en el dominio excepto en el punto singular donde $$x^2 + y^2 = 0$$, que está fuera del dominio considerado.\n\n7. Sin embargo, el dominio dado es el interior del círculo de radio 2 centrado en (9,0), es decir $$D = \{(x,y) : (x-9)^2 + y^2 < 4\}$$, que no contiene el punto singular $$ (0,0)$$. Además, el dominio es simplemente conexo.\n\n8. Por lo tanto, dado que $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$$ en $$D$$ y $$D$$ es simplemente conexo, concluimos que el campo es conservativo en el dominio.\n\nRespuesta final: El campo $$\mathbf{F}$$ es conservativo en el dominio interior del círculo de radio 2 y centro en (9,0).