1. El problema consiste en encontrar el volumen $V$ del sólido generado por la rotación alrededor del eje $x$ de la región delimitada por las curvas $y=9-x^2$ y $y=x+7$ entre $x=-2$ y $x=1$. 2. La fórmula para el volumen de un sólido de revolución usando el método de discos o arandelas es: $$V=\pi \int_a^b \left(R(x)^2 - r(x)^2\right) dx$$ donde $R(x)$ es la función exterior (mayor) y $r(x)$ la función interior (menor) respecto al eje de rotación. 3. Primero identificamos las funciones: - $R(x) = 9 - x^2$ - $r(x) = x + 7$ 4. El volumen es entonces: $$V = \pi \int_{-2}^1 \left[(9 - x^2)^2 - (x + 7)^2\right] dx$$ 5. Expandimos los cuadrados: $$(9 - x^2)^2 = 81 - 18x^2 + x^4$$ $$(x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49$$ 6. Restamos dentro del integrando: $$81 - 18x^2 + x^4 - (x^2 + 14x + 49) = x^4 - 19x^2 - 14x + 32$$ 7. Por lo tanto: $$V = \pi \int_{-2}^1 \left(x^4 - 19x^2 - 14x + 32\right) dx$$ 8. Integramos término a término: $$\int x^4 dx = \frac{x^5}{5}$$ $$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$$ $$\int x dx = \frac{x^2}{2}$$ $$\int 1 dx = x$$ 9. Aplicando la integral: $$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 19 \frac{x^3}{3} - 14 \frac{x^2}{2} + 32x \right]_{-2}^1$$ 10. Evaluamos en $x=1$: $$\frac{1^5}{5} - 19 \frac{1^3}{3} - 14 \frac{1^2}{2} + 32(1) = \frac{1}{5} - \frac{19}{3} - 7 + 32 = \frac{1}{5} - \frac{19}{3} + 25$$ 11. Evaluamos en $x=-2$: $$\frac{(-2)^5}{5} - 19 \frac{(-2)^3}{3} - 14 \frac{(-2)^2}{2} + 32(-2) = \frac{-32}{5} - 19 \frac{-8}{3} - 14 \cdot 2 - 64 = -\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - 28 - 64$$ 12. Simplificamos ambas evaluaciones: - En $x=1$: $\frac{1}{5} - \frac{19}{3} + 25 = \frac{1}{5} - \frac{19}{3} + \frac{75}{3} = \frac{1}{5} + \frac{56}{3}$ - En $x=-2$: $-\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - 92 = -\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - \frac{276}{3} = -\frac{32}{5} - \frac{124}{3}$ 13. Calculamos la diferencia: $$\left(\frac{1}{5} + \frac{56}{3}\right) - \left(-\frac{32}{5} - \frac{124}{3}\right) = \frac{1}{5} + \frac{56}{3} + \frac{32}{5} + \frac{124}{3} = \left(\frac{1+32}{5}\right) + \left(\frac{56+124}{3}\right) = \frac{33}{5} + \frac{180}{3} = \frac{33}{5} + 60$$ 14. Convertimos a común denominador para sumar: $$60 = \frac{300}{5}$$ $$\frac{33}{5} + \frac{300}{5} = \frac{333}{5}$$ 15. Finalmente, el volumen es: $$V = \pi \cdot \frac{333}{5} = \frac{333\pi}{5}$$ **Respuesta final:** $$\boxed{V = \frac{333\pi}{5}}$$