1. Planteamos el problema: Calcular el volumen $V$ generado al rotar la región entre las curvas $y=9-x^2$ y $y=x+7$ alrededor del eje $x$ entre $x=-2$ y $x=1$. 2. Encontramos los puntos de intersección resolviendo $$9-x^2 = x+7$$ lo que da $$-x^2 - x + 2 = 0$$ y factorizando $$-(x^2 + x - 2) = 0$$. Esto implica $$x^2 + x - 2 = 0$$. Factores: $$(x+2)(x-1)=0$$, por tanto $$x=-2$$ y $$x=1$$. 3. La fórmula para el volumen usando el método de discos/lavadoras es: $$V = \pi \int_{-2}^1 \Big[(9-x^2)^2 - (x+7)^2\Big] dx$$ 4. Expandimos los cuadrados: $$(9-x^2)^2 = 81 - 18x^2 + x^4$$ $$(x+7)^2 = x^2 + 14x + 49$$ 5. Restamos dentro de la integral: $$81 - 18x^2 + x^4 - (x^2 + 14x + 49) = x^4 - 19x^2 - 14x + 32$$ 6. Entonces $$V = \pi \int_{-2}^1 (x^4 - 19x^2 - 14x + 32) dx$$ 7. Integramos término a término: $$\int x^4 dx = \frac{x^5}{5}, \quad \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int x dx = \frac{x^2}{2}, \quad \int 1 dx = x$$ 8. Aplicando la integral definida: $$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 19 \frac{x^3}{3} - 14 \frac{x^2}{2} + 32 x \right]_{-2}^1$$ 9. Evaluamos en los extremos: Para $x=1$: $$\frac{1^5}{5} - 19 \frac{1^3}{3} - 14 \frac{1^2}{2} + 32 (1) = \frac{1}{5} - \frac{19}{3} - 7 + 32 = \frac{1}{5} - \frac{19}{3} + 25$$ Para $x=-2$: $$\frac{(-2)^5}{5} - 19 \frac{(-2)^3}{3} - 14 \frac{(-2)^2}{2} + 32 (-2) = \frac{-32}{5} - 19 \frac{-8}{3} - 14 (2) - 64 = -\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - 28 -64$$ 10. Simplificamos ambas evaluaciones: $$V(1) = \frac{1}{5} - \frac{19}{3} + 25 = \frac{3}{15} - \frac{95}{15} + \frac{375}{15} = \frac{283}{15}$$ $$V(-2) = -\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - 28 - 64 = -\frac{96}{15} + \frac{760}{15} - \frac{420}{15} - \frac{960}{15} = -\frac{716}{15}$$ 11. Restando: $$V = \pi \left( \frac{283}{15} - \left(-\frac{716}{15} \right) \right) = \pi \frac{999}{15} = \pi \times 66.6$$ 12. Resultado final: $$\boxed{V = \frac{999 \pi}{15} \approx 66.6 \pi}$$