1. **Planteamiento del problema:** Calcular el volumen $V$ generado por la región limitada entre las curvas $y=9-x^2$ y $y=x+7$ para $x$ en $[-2,1]$, usando el método de discos o arandelas. 2. **Fórmula para el volumen por arandelas:** $$V=\pi \int_a^b \left(R(x)^2 - r(x)^2\right) dx$$ Donde $R(x)$ es la función exterior y $r(x)$ la función interior respecto al eje de rotación. 3. **Identificación de funciones:** - $R(x) = 9 - x^2$ - $r(x) = x + 7$ - Intervalo de integración: $a=-2$, $b=1$ 4. **Expresión del volumen:** $$V = \pi \int_{-2}^1 \left[(9 - x^2)^2 - (x + 7)^2\right] dx$$ 5. **Expansión de los cuadrados:** $$(9 - x^2)^2 = 81 - 18x^2 + x^4$$ $$(x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49$$ 6. **Sustitución en la integral:** $$V = \pi \int_{-2}^1 \left(81 - 18x^2 + x^4 - x^2 - 14x - 49\right) dx = \pi \int_{-2}^1 \left(x^4 - 19x^2 - 14x + 32\right) dx$$ 7. **Integración término a término:** $$\int x^4 dx = \frac{x^5}{5}, \quad \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int x dx = \frac{x^2}{2}, \quad \int dx = x$$ 8. **Integral definida:** $$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 19 \frac{x^3}{3} - 14 \frac{x^2}{2} + 32x \right]_{-2}^1$$ 9. **Evaluación en los límites:** Para $x=1$: $$\frac{1^5}{5} - 19 \frac{1^3}{3} - 14 \frac{1^2}{2} + 32(1) = \frac{1}{5} - \frac{19}{3} - 7 + 32 = \frac{1}{5} - \frac{19}{3} + 25$$ Para $x=-2$: $$\frac{(-2)^5}{5} - 19 \frac{(-2)^3}{3} - 14 \frac{(-2)^2}{2} + 32(-2) = \frac{-32}{5} - 19 \frac{-8}{3} - 14 \cdot 2 - 64 = -\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - 28 - 64$$ 10. **Simplificación:** Para $x=1$: $$\frac{1}{5} - \frac{19}{3} + 25 = \frac{1}{5} - \frac{19}{3} + \frac{125}{5} = \frac{1 + 125}{5} - \frac{19}{3} = \frac{126}{5} - \frac{19}{3} = \frac{378 - 95}{15} = \frac{283}{15}$$ Para $x=-2$: $$-\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - 28 - 64 = -\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - 92 = -\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - \frac{460}{5} = \left(-\frac{32}{5} - \frac{460}{5}\right) + \frac{152}{3} = -\frac{492}{5} + \frac{152}{3} = \frac{-1476 + 760}{15} = -\frac{716}{15}$$ 11. **Resultado final:** $$V = \pi \left( \frac{283}{15} - \left(-\frac{716}{15}\right) \right) = \pi \frac{999}{15} = \pi \cdot 66.6$$ Por lo tanto, el volumen es aproximadamente: $$V \approx 66.6 \pi$$