1. Problema de caída libre y lanzamiento vertical desde 450 m de altura. (a) Encuentre la distancia de la piedra arriba del nivel de la tierra en el instante $t$. Se usa la fórmula de posición para caída libre: $$s(t) = s_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2,$$ con $s_0 = 450$ m, $v_0 = 0$ (se deja caer), y $g = 9.8$ m/s$^2$. Entonces $$s(t) = 450 - 4.9 t^2.$$ (b) ¿Cuánto tarda la piedra en llegar al nivel de la tierra? (es decir, $s(t) = 0$). Resolver $$0 = 450 - 4.9 t^2 \implies 4.9 t^2 = 450 \implies t^2 = \frac{450}{4.9} \implies t = \sqrt{\frac{450}{4.9}}.$$ Calculando $$t \approx 9.59\text{ s}.$$ (c) ¿Con qué velocidad choca contra el nivel de la tierra? La velocidad es $$v(t) = v_0 - g t = -9.8 t.$$ Usamos $t = 9.59$ s: $$v = -9.8 \times 9.59 \approx -94.0\text{ m/s}.$$ La velocidad de impacto es aproximadamente $94$ m/s hacia abajo. (d) Si la piedra se lanza hacia arriba con rapidez $5$ m/s, ¿cuánto tarda en llegar al nivel de la tierra? Ahora $v_0=5$ m/s, la posición es $$s(t) = 450 + 5 t - 4.9 t^2.$$ Para llegar a la tierra, $$0 = 450 + 5 t -4.9 t^2$$ Reordenar: $$4.9 t^2 - 5 t - 450 = 0.$$ Usamos la fórmula cuadrática: $$t = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 4.9 \times (-450)}}{2 \times 4.9}$$ $$= \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8820}}{9.8} = \frac{5 \pm \sqrt{8845}}{9.8}.$$ La raíz positiva: $$t \approx \frac{5 + 94.06}{9.8} = 10.01 \text{ s}.$$ 2. Definición de $g(x) = \int_0^x f(t) dt$ con gráfica dada. Evalúe $g(0), g(1), g(2), g(3), g(6)$ usando áreas bajo $f(t)$: - $g(0) = 0$ (integral con límite igual). - $g(1)$: área bajo $f$ de 0 a 1 es un triángulo con base 1 y altura 5: $$g(1) = \frac{1 \times 5}{2} = 2.5.$$ - $g(2)$: de 1 a 2, $f$ baja de 5 a -1 línea recta, área aproximada: Área triángulo superior en [0,1]: 2.5 (ya calculada) Área entre 1 y 2 es mitad positiva mitad negativa, calculamos sumando áreas positivas y negativas: Integral = área positiva(1 a 1.66) - área negativa(1.66 a 2). Aproximamos con Área neta aproximadamente $2.5+(-3) = -0.5$ (estimación simplificada). - $g(3)$: sumamos área bajo $f$ desde 0 a 3, integrando segmentos: Aproximadamente: $2.5 + (-3) + 2 = 1.5$ (estimado por segmentos). - $g(6)$: $f(t) = 0$ para $t > 3$, entonces $g(6) = g(3) = 1.5.$ 3. Use sumas de Riemann para calcular $$\int_{-1}^5 (2 - 5x + 4x^2) dx.$$ Integrando término a término: $$ \int (2) dx = 2x,$$ $$ \int (-5x) dx = -\frac{5}{2} x^2,$$ $$ \int 4x^2 dx = \frac{4}{3} x^3.$$ Evaluando en $[-1,5]$: $$\left[ 2x - \frac{5}{2} x^2 + \frac{4}{3} x^3 \right]_{-1}^5.$$ Calculamos: En $x=5:$ $$2(5) - 2.5(25) + \frac{4}{3}(125) = 10 - 62.5 + \frac{500}{3} = 10 - 62.5 + 166.67 = 114.17.$$ En $x=-1:$ $$2(-1) - 2.5(1) + \frac{4}{3}(-1) = -2 - 2.5 - \frac{4}{3} = -4.5 -1.33 = -5.83.$$ Integral = $114.17 - (-5.83) = 120.$ 4. Derivadas de funciones definidas por integrales. i) $$p(x) = \int_0^1 \sqrt{t + \sqrt{t}} dt,$$ No depende de $x$, es constante, entonces $$p'(x) = 0.$$ ii) $$p(x) = \int_{\cos x}^{\pi/2} \arctan(t) dt.$$ Por la regla de Leibniz para derivadas de integrales con límite variable: $$p'(x) = -\arctan(\cos x) \times (-\sin x) = \arctan(\cos x) \sin x.$$ 5. Resuelva las integrales. i) $$\int \frac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} dx.$$ Sustituimos $u = \sqrt{x} \Rightarrow x = u^2$, entonces $dx = 2u du$, y la integral es $$\int \frac{\sin(u)}{u} 2u du = 2 \int \sin u du = -2 \cos u + C = -2 \cos(\sqrt{x}) + C.$$ ii) $$\int \tan u \ln(\cos u) du.$$ Usamos integración por partes: Sea $w = \ln(\cos u)$ y $dv = \tan u du$. Pero mejor, notamos que $\frac{d}{du} \ln(\cos u) = -\tan u,$ entonces $$\int \tan u \ln(\cos u) du = - \int \ln(\cos u)(-\tan u) du = - \int w dw = -\frac{w^2}{2} + C = -\frac{(\ln(\cos u))^2}{2} + C.$$ (iii) $$\int_1^e \frac{\ln t}{t^2} dt.$$ Usamos $u = \ln t$, $dv = t^{-2} dt$, con $du = \frac{1}{t} dt,$ y $ v = -\frac{1}{t}.$ Por integración por partes: $$\int \frac{\ln t}{t^2} dt = u v - \int v du = -\frac{\ln t}{t} + \int \frac{1}{t} \times \frac{1}{t} dt = -\frac{\ln t}{t} + \int \frac{1}{t^2} dt.$$ $$= -\frac{\ln t}{t} - \frac{1}{t} + C.$$ Evaluamos de $1$ a $e$: $$\left[-\frac{\ln t}{t} - \frac{1}{t}\right]_1^e = \left(-\frac{1}{e} - \frac{1}{e}\right) - \left(-0 -1\right) = -\frac{2}{e} + 1.$$