1. Problema a) Resolver \(\int_1^{64} \frac{x^{1/3}}{x^{2/3}+2} \, dx\). Se sugiere el cambio: \(t = x^{2/3} + 2\). Entonces, \(dt = \frac{2}{3} x^{-1/3} dx\) y \(x^{1/3} = (x^{2/3})^{1/2} = (t - 2)^{1/2}\). Resolveremos en detalle con sustitución para simplificar. 2. Problema b) Resolver \(\int_2^{9} \frac{5x - 6}{\sqrt[3]{x - 1}} dx\). Usamos sustitución \(t = x - 1\), luego \(dt = dx\) y los límites se transforman: cuando \(x=2\), \(t=1\), y cuando \(x=9\), \(t=8\). Expresamos el integrando en función de \(t\) y simplificamos para integrar término a término. 3. Problema c) Resolver \(\int_0^2 x \ln(x+1) \, dx\). Se aplica integración por partes \(u = \ln(x+1)\), \(dv=x dx\), luego \(du = \frac{1}{x+1} dx\), \(v = \frac{x^2}{2}\). Se usa la fórmula \(\int u dv = uv - \int v du\) y se evalúan los límites. 4. Problema d) Resolver \(\int_{-\pi}^\pi e^x \cos(x) \, dx\). Usamos la fórmula para \(\int e^{ax} \cos(bx) dx\) con \(a=1\), \(b=1\), que es \(\frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx)) + C\). Evaluamos sus límites para obtener resultado final. 5. Problema e) Resolver \(\int_{\pi/3}^{\pi/2} \sin^3(\theta) \sqrt{\cos(\theta)} \, d\theta\). Procedemos con descomposición y uso de identidad trigonométrica para manejar \(\sin^3(\theta) = \sin(\theta)(1 - \cos^2(\theta))\). Substituimos \(u = \cos(\theta)\), derivamos y simplificamos para luego integrar en función de \(u\). 6. Problema f) Resolver \(\int_0^{\pi/3} \tan(x) \sec^2(x) dx\). Dado que \(\frac{d}{dx} \tan(x) = \sec^2(x)\), podemos usar sustitución \(u = \tan(x)\). La integral se transforma en integral de \(u du\). Luego evaluamos en límites correspondientes. 7. Problema g) Resolver \(\int_0^2 \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^3} \sqrt{x^2 - 1}}\). Simplificamos expresando las potencias y raíces: \(\sqrt{x^3} = x^{3/2}\), entonces el denominador es \(x^{2+3/2} \sqrt{x^2 - 1} = x^{7/2} \sqrt{x^2 - 1}\). Realizamos sustitución para manejar \(\sqrt{x^2 - 1}\). 8. Problema h) Resolver \(\int_1^{6/5} \frac{16}{\frac{x^4}{4} - x^2} dx\). Simplificamos el denominador: \(\frac{x^4}{4} - x^2 = \frac{x^2}{4}(x^2 - 4)\). Reescribimos la integral y usamos fracciones parciales para integrar. 9. Problema i) Resolver \(\int_0^5 \frac{2x + 6}{x (x+1)^2} dx\). Utilizamos fracciones parciales para expandir \(\frac{2x+6}{x (x+1)^2}\). Luego integramos término a término y evaluamos entre 0 y 5. Cuidado con el límite en 0. 10. Problema j) Resolver \(\int_0^1 \frac{x^3}{x^4 + 2x + 2} dx\). Intentamos sustitución o técnicas de fracciones parciales si es posible. Observamos si el numerador es derivada del denominador para facilitar la integración. Número total de problemas resueltos: 10.