1. Problema: Calcular $$\int 2x \cos(x^2 + 1) \, dx$$ usando sustitución. 2. Paso 1 (Sustitución): Sea $$u = x^2 + 1$$, entonces $$du = 2x \, dx$$. 3. Paso 2 (Reescribir integral): La integral se convierte en $$\int \cos(u) \, du$$. 4. Paso 3 (Integración): $$\int \cos(u) \, du = \sin(u) + C$$ (Regla: integral de coseno). 5. Paso 4 (Volver a la variable original): $$\sin(x^2 + 1) + C$$. 6. Verificación: Derivando $$\sin(x^2 + 1)$$ obtenemos $$\cos(x^2 + 1) \cdot 2x$$, que es el integrando original. 7. Problema: Calcular $$\int \frac{e^{3x}}{e^{3x} + 1} \, dx$$. 8. Paso 1 (Sustitución): Sea $$u = e^{3x} + 1$$, entonces $$du = 3e^{3x} \, dx$$. 9. Paso 2 (Reescribir integral): $$\int \frac{e^{3x}}{u} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \, du$$. 10. Paso 3 (Integración): $$\frac{1}{3} \ln|u| + C$$ (Regla: integral de $$\frac{1}{u}$$). 11. Paso 4 (Volver a la variable original): $$\frac{1}{3} \ln|e^{3x} + 1| + C$$. 12. Verificación: Derivando obtenemos el integrando original. 13. Problema: Calcular $$\int x \sqrt{x^2 + 4} \, dx$$. 14. Paso 1 (Sustitución): Sea $$u = x^2 + 4$$, entonces $$du = 2x \, dx$$. 15. Paso 2 (Reescribir integral): $$\int x \sqrt{u} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du$$. 16. Paso 3 (Integración): $$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{3} u^{3/2} + C$$. 17. Paso 4 (Volver a la variable original): $$\frac{1}{3} (x^2 + 4)^{3/2} + C$$. 18. Verificación: Derivando recuperamos el integrando original. 19. Problema: Calcular $$\int \frac{\sin(5x)}{\cos^3(5x)} \, dx$$. 20. Paso 1 (Sustitución): Sea $$u = \cos(5x)$$, entonces $$du = -5 \sin(5x) \, dx$$. 21. Paso 2 (Reescribir integral): $$\int \frac{\sin(5x)}{u^3} \, dx = -\frac{1}{5} \int u^{-3} \, du$$. 22. Paso 3 (Integración): $$-\frac{1}{5} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{10} u^{-2} + C$$. 23. Paso 4 (Volver a la variable original): $$\frac{1}{10 \cos^2(5x)} + C$$. 24. Verificación: Derivando obtenemos el integrando original. 25. Problema: Calcular $$\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx$$. 26. Paso 1 (Sustitución): Sea $$u = \ln(x)$$, entonces $$du = \frac{1}{x} \, dx$$. 27. Paso 2 (Reescribir integral): $$\int \frac{1}{x u} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du$$. 28. Paso 3 (Integración): $$\ln|u| + C$$. 29. Paso 4 (Volver a la variable original): $$\ln|\ln(x)| + C$$. 30. Verificación: Derivando recuperamos el integrando original. 31. Problema: Calcular $$\int 3x^2 e^{x^3} \, dx$$. 32. Paso 1 (Sustitución): Sea $$u = x^3$$, entonces $$du = 3x^2 \, dx$$. 33. Paso 2 (Reescribir integral): $$\int e^u \, du$$. 34. Paso 3 (Integración): $$e^u + C$$. 35. Paso 4 (Volver a la variable original): $$e^{x^3} + C$$. 36. Verificación: Derivando obtenemos el integrando original. 37. Problema: Calcular $$\int \frac{2x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$$. 38. Paso 1 (Sustitución): Sea $$u = 1 - x^2$$, entonces $$du = -2x \, dx$$. 39. Paso 2 (Reescribir integral): $$\int \frac{2x}{\sqrt{u}} \, dx = -\int u^{-1/2} \, du$$. 40. Paso 3 (Integración): $$-2 u^{1/2} + C$$. 41. Paso 4 (Volver a la variable original): $$-2 \sqrt{1 - x^2} + C$$. 42. Verificación: Derivando recuperamos el integrando original. 43. Problema: Calcular $$\int \tan(x) \, dx$$ usando sustitución. 44. Paso 1 (Sustitución): Sea $$u = \cos(x)$$, entonces $$du = -\sin(x) \, dx$$. 45. Paso 2 (Reescribir integral): $$\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \, dx = -\int \frac{1}{u} \, du$$. 46. Paso 3 (Integración): $$-\ln|u| + C$$. 47. Paso 4 (Volver a la variable original): $$-\ln|\cos(x)| + C$$. 48. Verificación: Derivando obtenemos el integrando original. 49. Problema: Calcular $$\int x e^{x^2} \, dx$$. 50. Paso 1 (Sustitución): Sea $$u = x^2$$, entonces $$du = 2x \, dx$$. 51. Paso 2 (Reescribir integral): $$\int x e^u \, dx = \frac{1}{2} \int e^u \, du$$. 52. Paso 3 (Integración): $$\frac{1}{2} e^u + C$$. 53. Paso 4 (Volver a la variable original): $$\frac{1}{2} e^{x^2} + C$$. 54. Verificación: Derivando recuperamos el integrando original. 55. Problema: Calcular $$\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx$$. 56. Paso 1 (Sustitución): Sea $$u = \ln(x)$$, entonces $$du = \frac{1}{x} \, dx$$. 57. Paso 2 (Reescribir integral): $$\int u \, du$$. 58. Paso 3 (Integración): $$\frac{u^2}{2} + C$$. 59. Paso 4 (Volver a la variable original): $$\frac{(\ln(x))^2}{2} + C$$. 60. Verificación: Derivando obtenemos el integrando original. 61. Problema: Calcular $$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx$$. 62. Paso 1 (Sustitución): Sea $$x = 2 \sin(\theta)$$, entonces $$dx = 2 \cos(\theta) \, d\theta$$. 63. Paso 2 (Reescribir integral): $$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^2(\theta)}} 2 \cos(\theta) \, d\theta = \int \frac{2 \cos(\theta)}{2 \cos(\theta)} \, d\theta = \int 1 \, d\theta$$. 64. Paso 3 (Integración): $$\theta + C$$. 65. Paso 4 (Volver a la variable original): $$\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C$$. 66. Verificación: Derivando recuperamos el integrando original. 67. Problema: Calcular $$\int x^3 \sqrt{x^4 + 1} \, dx$$. 68. Paso 1 (Sustitución): Sea $$u = x^4 + 1$$, entonces $$du = 4x^3 \, dx$$. 69. Paso 2 (Reescribir integral): $$\int x^3 \sqrt{u} \, dx = \frac{1}{4} \int u^{1/2} \, du$$. 70. Paso 3 (Integración): $$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{6} u^{3/2} + C$$. 71. Paso 4 (Volver a la variable original): $$\frac{1}{6} (x^4 + 1)^{3/2} + C$$. 72. Verificación: Derivando recuperamos el integrando original. 73. Problema: Calcular $$\int \frac{\sin(2x)}{\cos^2(2x)} \, dx$$. 74. Paso 1 (Sustitución): Sea $$u = \cos(2x)$$, entonces $$du = -2 \sin(2x) \, dx$$. 75. Paso 2 (Reescribir integral): $$\int \frac{\sin(2x)}{u^2} \, dx = -\frac{1}{2} \int u^{-2} \, du$$. 76. Paso 3 (Integración): $$-\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = \frac{1}{2u} + C$$. 77. Paso 4 (Volver a la variable original): $$\frac{1}{2 \cos(2x)} + C$$. 78. Verificación: Derivando recuperamos el integrando original. 79. Problema: Calcular $$\int \frac{e^x}{\sqrt{1 - e^{2x}}} \, dx$$. 80. Paso 1 (Sustitución): Sea $$u = e^x$$, entonces $$du = e^x \, dx$$. 81. Paso 2 (Reescribir integral): $$\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \, du$$. 82. Paso 3 (Integración): $$\arcsin(u) + C$$. 83. Paso 4 (Volver a la variable original): $$\arcsin(e^x) + C$$. 84. Verificación: Derivando recuperamos el integrando original. 85. Problema: Calcular $$\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx$$. 86. Paso 1 (Reconocer integral estándar): $$\arctan(x) + C$$. 87. Verificación: Derivando obtenemos el integrando original. 88. Problema: Calcular $$\int x \sin(x^2) \, dx$$. 89. Paso 1 (Sustitución): Sea $$u = x^2$$, entonces $$du = 2x \, dx$$. 90. Paso 2 (Reescribir integral): $$\int \sin(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \sin(u) \, du$$. 91. Paso 3 (Integración): $$-\frac{1}{2} \cos(u) + C$$. 92. Paso 4 (Volver a la variable original): $$-\frac{1}{2} \cos(x^2) + C$$. 93. Verificación: Derivando recuperamos el integrando original. 94. Problema: Calcular $$\int \frac{2x}{x^2 + 5} \, dx$$. 95. Paso 1 (Sustitución): Sea $$u = x^2 + 5$$, entonces $$du = 2x \, dx$$. 96. Paso 2 (Reescribir integral): $$\int \frac{1}{u} \, du$$. 97. Paso 3 (Integración): $$\ln|u| + C$$. 98. Paso 4 (Volver a la variable original): $$\ln|x^2 + 5| + C$$. 99. Verificación: Derivando recuperamos el integrando original. 100. Problema: Calcular $$\int \frac{\cos(3x)}{\sin^2(3x)} \, dx$$. 101. Paso 1 (Sustitución): Sea $$u = \sin(3x)$$, entonces $$du = 3 \cos(3x) \, dx$$. 102. Paso 2 (Reescribir integral): $$\int \frac{\cos(3x)}{u^2} \, dx = \frac{1}{3} \int u^{-2} \, du$$. 103. Paso 3 (Integración): $$\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{3u} + C$$. 104. Paso 4 (Volver a la variable original): $$-\frac{1}{3 \sin(3x)} + C$$. 105. Verificación: Derivando recuperamos el integrando original.