1. **Planteamiento del problema:** Calcular la integral triple $$\iiint_{B} (xy^{2} - 2yz + x^{3} y) \, dV$$ con la región \(B = \{(x, y, z) \mid 0 \leq x \leq 1; 0 \leq y \leq 2; 0 \leq z \leq 3\}\). 2. **Fórmula y reglas:** La integral triple sobre un cuboide se calcula integrando sucesivamente en el orden dado: $$\int_0^1 \int_0^2 \int_0^3 (xy^{2} - 2yz + x^{3} y) \, dz \, dy \, dx$$ Se puede integrar término a término y usar la linealidad de la integral. 3. **Integración respecto a \(z\):** $$\int_0^3 (xy^{2} - 2yz + x^{3} y) \, dz = \int_0^3 xy^{2} \, dz - \int_0^3 2yz \, dz + \int_0^3 x^{3} y \, dz$$ Como \(xy^{2}\) y \(x^{3} y\) no dependen de \(z\), se integran como constantes: $$xy^{2} \cdot z \Big|_0^3 = 3xy^{2}$$ $$x^{3} y \cdot z \Big|_0^3 = 3x^{3} y$$ Para el término \(-2yz\): $$\int_0^3 -2yz \, dz = -2y \int_0^3 z \, dz = -2y \cdot \frac{z^{2}}{2} \Big|_0^3 = -2y \cdot \frac{9}{2} = -9y$$ Entonces la integral interna es: $$3xy^{2} - 9y + 3x^{3} y$$ 4. **Integración respecto a \(y\):** $$\int_0^2 (3xy^{2} - 9y + 3x^{3} y) \, dy = 3x \int_0^2 y^{2} \, dy - 9 \int_0^2 y \, dy + 3x^{3} \int_0^2 y \, dy$$ Calculamos cada integral: $$\int_0^2 y^{2} \, dy = \frac{y^{3}}{3} \Big|_0^2 = \frac{8}{3}$$ $$\int_0^2 y \, dy = \frac{y^{2}}{2} \Big|_0^2 = 2$$ Sustituyendo: $$3x \cdot \frac{8}{3} - 9 \cdot 2 + 3x^{3} \cdot 2 = 8x - 18 + 6x^{3}$$ 5. **Integración respecto a \(x\):** $$\int_0^1 (8x - 18 + 6x^{3}) \, dx = \int_0^1 8x \, dx - \int_0^1 18 \, dx + \int_0^1 6x^{3} \, dx$$ Calculamos cada integral: $$\int_0^1 8x \, dx = 8 \cdot \frac{x^{2}}{2} \Big|_0^1 = 4$$ $$\int_0^1 18 \, dx = 18x \Big|_0^1 = 18$$ $$\int_0^1 6x^{3} \, dx = 6 \cdot \frac{x^{4}}{4} \Big|_0^1 = \frac{6}{4} = 1.5$$ Sumando: $$4 - 18 + 1.5 = -12.5$$ **Respuesta final:** $$\boxed{-12.5}$$