1. **Planteamiento del problema:** Calcular la integral $$\int \frac{x + 5}{15x^3 + x^2 - 2x} \, dx$$. 2. **Factorización del denominador:** Primero factorizamos el denominador para simplificar la integral. $$15x^3 + x^2 - 2x = x(15x^2 + x - 2)$$ Ahora factorizamos el trinomio cuadrático: Buscamos dos números que multiplicados den $15 \times (-2) = -30$ y sumados den $1$. Esos números son $6$ y $-5$. Entonces: $$15x^2 + x - 2 = 15x^2 + 6x - 5x - 2 = 3x(5x + 2) -1(5x + 2) = (3x - 1)(5x + 2)$$ Por lo tanto: $$15x^3 + x^2 - 2x = x(3x - 1)(5x + 2)$$ 3. **Reescribimos la integral:** $$\int \frac{x + 5}{x(3x - 1)(5x + 2)} \, dx$$ 4. **Descomposición en fracciones parciales:** Planteamos: $$\frac{x + 5}{x(3x - 1)(5x + 2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{3x - 1} + \frac{C}{5x + 2}$$ Multiplicamos ambos lados por el denominador común: $$x + 5 = A(3x - 1)(5x + 2) + B x (5x + 2) + C x (3x - 1)$$ 5. **Expansión y agrupación:** Expandimos cada término: - $A(3x - 1)(5x + 2) = A(15x^2 + 6x - 5x - 2) = A(15x^2 + x - 2)$ - $B x (5x + 2) = B(5x^2 + 2x)$ - $C x (3x - 1) = C(3x^2 - x)$ Sumamos: $$x + 5 = A(15x^2 + x - 2) + B(5x^2 + 2x) + C(3x^2 - x)$$ Agrupamos por potencias de $x$: $$x + 5 = (15A + 5B + 3C) x^2 + (A + 2B - C) x - 2A$$ 6. **Igualamos coeficientes:** Para que la igualdad sea cierta para todo $x$: - Coeficiente de $x^2$: $0 = 15A + 5B + 3C$ - Coeficiente de $x$: $1 = A + 2B - C$ - Término independiente: $5 = -2A$ 7. **Resolución del sistema:** De la última ecuación: $$-2A = 5 \implies A = -\frac{5}{2}$$ Sustituimos $A$ en las otras dos: $$0 = 15\left(-\frac{5}{2}\right) + 5B + 3C = -\frac{75}{2} + 5B + 3C$$ $$1 = -\frac{5}{2} + 2B - C$$ Simplificamos: $$5B + 3C = \frac{75}{2}$$ $$2B - C = 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}$$ 8. **Despejamos $C$ de la segunda ecuación:** $$C = 2B - \frac{7}{2}$$ Sustituimos en la primera: $$5B + 3(2B - \frac{7}{2}) = \frac{75}{2}$$ $$5B + 6B - \frac{21}{2} = \frac{75}{2}$$ $$11B = \frac{75}{2} + \frac{21}{2} = \frac{96}{2} = 48$$ $$B = \frac{48}{11}$$ 9. **Calculamos $C$:** $$C = 2 \times \frac{48}{11} - \frac{7}{2} = \frac{96}{11} - \frac{7}{2} = \frac{192}{22} - \frac{77}{22} = \frac{115}{22}$$ 10. **Integral con fracciones parciales:** $$\int \left( \frac{A}{x} + \frac{B}{3x - 1} + \frac{C}{5x + 2} \right) dx = \int \frac{-\frac{5}{2}}{x} dx + \int \frac{\frac{48}{11}}{3x - 1} dx + \int \frac{\frac{115}{22}}{5x + 2} dx$$ 11. **Integración término a término:** Recordando que $$\int \frac{1}{ax + b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax + b| + C$$ - $$\int \frac{-\frac{5}{2}}{x} dx = -\frac{5}{2} \ln|x|$$ - $$\int \frac{\frac{48}{11}}{3x - 1} dx = \frac{48}{11} \times \frac{1}{3} \ln|3x - 1| = \frac{16}{11} \ln|3x - 1|$$ - $$\int \frac{\frac{115}{22}}{5x + 2} dx = \frac{115}{22} \times \frac{1}{5} \ln|5x + 2| = \frac{115}{110} \ln|5x + 2| = \frac{23}{22} \ln|5x + 2|$$ 12. **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{x + 5}{15x^3 + x^2 - 2x} dx = -\frac{5}{2} \ln|x| + \frac{16}{11} \ln|3x - 1| + \frac{23}{22} \ln|5x + 2| + C}$$