1. **Planteamiento del problema:** Calcular el costo total de instalar los primeros 3 kilómetros de red, dado que el costo marginal está dado por la función $$C'(x) = \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 16}}$$. 2. **Fórmula a usar:** El costo total $$C$$ se obtiene integrando el costo marginal $$C'(x)$$ desde 0 hasta 3: $$ C = \int_0^3 \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 16}} \, dx $$ 3. **Método de integración:** Usaremos sustitución para resolver la integral. 4. **Sustitución:** Sea $$u = x^2 + 16$$, entonces $$du = 2x \, dx$$, por lo que $$x \, dx = \frac{du}{2}$$. 5. **Reescribiendo la integral:** $$ \int_0^3 \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 16}} \, dx = 3 \int_0^3 \frac{x}{\sqrt{u}} \, dx $$ Pero necesitamos expresar $$x \, dx$$ en términos de $$du$$: $$ x \, dx = \frac{du}{2} $$ Cuando $$x=0$$, $$u=0^2 + 16 = 16$$. Cuando $$x=3$$, $$u=3^2 + 16 = 9 + 16 = 25$$. 6. **Integral en términos de $$u$$:** $$ 3 \int_{u=16}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{3}{2} \int_{16}^{25} u^{-1/2} \, du $$ 7. **Integración:** Recordando que $$\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$$ para $$n \neq -1$$, $$ \int u^{-1/2} du = 2 u^{1/2} + C $$ 8. **Evaluando la integral definida:** $$ \frac{3}{2} \times 2 \left[ u^{1/2} \right]_{16}^{25} = 3 \left( \sqrt{25} - \sqrt{16} \right) = 3 (5 - 4) = 3 \times 1 = 3 $$ 9. **Respuesta final:** El costo total exacto de instalar los primeros 3 kilómetros de red es $$3$$ millones de pesos.