1. O problema pede para determinar a área total sob a curva da função $$y = 1000 \cdot x \cdot \sin(x)$$ entre as retas $$x=0$$ e $$x=3,14$$ (aproximadamente $$\pi$$). 2. A área sob a curva de uma função $$y=f(x)$$ entre $$x=a$$ e $$x=b$$ é dada pelo cálculo da integral definida: $$\text{Área} = \int_a^b f(x) \, dx$$ 3. Aplicando ao nosso caso: $$\text{Área} = \int_0^{3,14} 1000 \cdot x \cdot \sin(x) \, dx$$ 4. Para resolver essa integral, usamos integração por partes. Seja: $$u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx$$ $$dv = \sin(x) dx \quad \Rightarrow \quad v = -\cos(x)$$ 5. A fórmula da integração por partes é: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 6. Aplicando: $$\int x \sin(x) dx = -x \cos(x) + \int \cos(x) dx = -x \cos(x) + \sin(x) + C$$ 7. Portanto: $$\int_0^{3,14} 1000 x \sin(x) dx = 1000 \left[ -x \cos(x) + \sin(x) \right]_0^{3,14}$$ 8. Calculando os valores nos limites: Para $$x=3,14 \approx \pi$$: $$-\pi \cos(\pi) + \sin(\pi) = -\pi \cdot (-1) + 0 = \pi$$ Para $$x=0$$: $$-0 \cdot \cos(0) + \sin(0) = 0 + 0 = 0$$ 9. Substituindo: $$1000 \times (\pi - 0) = 1000 \pi \approx 3141,59$$ 10. Conclusão: A área total sob a curva entre $$x=0$$ e $$x=3,14$$ é aproximadamente $$3141,59$$ metros quadrados. 11. Como a área a ser pavimentada é superior a 3800 m², a afirmação do problema está incorreta, pois $$3141,59 < 3800$$. Resposta final: A área total sob a curva é aproximadamente $$3141,59$$ metros quadrados.