1. Problema: Demostrar la fórmula de integración por partes y elegir u y dv para integrales con ln y arctan. Fórmula base: $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$. 1.1. Derivamos $uv$ y despejamos para integrar: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Esto se obtiene al integrar ambos lados de $ (uv)' = u'v + uv' $ y reorganizar. 1.2. Para $\int \ln(1+x^2) \, dx$, elegir $u = \ln(1+x^2)$ (porque su derivada es más simple) y $dv = dx$. 1.3. Para $\int \arctan(ax) \, d(ax)$ con $a>0$, elegir $u = \arctan(ax)$ y $dv = d(ax)$ para simplificar la integral usando la derivada de arctan. 2. Regla de sustitución para integrales compuestas: Si $u = g(x)$ y $F' = f$, entonces $$\int f(g(x)) g'(x) \, dx = F(g(x)) + C$$ Esto se basa en la regla de la cadena para derivadas, aplicada a antiderivadas. 3. Problema de utilidad marginal: $$MU(q) = \frac{2q + 5}{q^2 + 4q + 3} = \frac{2q + 5}{(q+1)(q+3)}, \quad q > -1$$ 3.a. Encontrar $U(q)$ tal que $U'(q) = MU(q)$. Descomponemos en fracciones parciales: $$\frac{2q + 5}{(q+1)(q+3)} = \frac{A}{q+1} + \frac{B}{q+3}$$ Multiplicando por denominador: $$2q + 5 = A(q+3) + B(q+1) = (A+B)q + (3A + B)$$ Igualando coeficientes: $$A + B = 2$$ $$3A + B = 5$$ Restando: $$(3A + B) - (A + B) = 5 - 2 \Rightarrow 2A = 3 \Rightarrow A = \frac{3}{2}$$ Entonces: $$B = 2 - A = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$$ Por lo tanto: $$MU(q) = \frac{3/2}{q+1} + \frac{1/2}{q+3}$$ Integrando: $$U(q) = \int MU(q) \, dq = \frac{3}{2} \ln|q+1| + \frac{1}{2} \ln|q+3| + C$$ 3.b. La constante $C$ representa la normalización de utilidad, es decir, un valor base arbitrario que no afecta decisiones marginales. 3.c. Si $U(0) = 0$: $$0 = \frac{3}{2} \ln 1 + \frac{1}{2} \ln 3 + C = 0 + \frac{1}{2} \ln 3 + C$$ Entonces: $$C = -\frac{1}{2} \ln 3$$ Esta normalización no altera decisiones marginales porque la derivada $U'(q)$ no depende de $C$. 4. Problema de costo marginal: $$MC(Q) = 22 + \frac{\kappa}{Q+3} + \frac{m}{(Q+1)^2}, \quad \kappa, m > 0, Q > -1$$ 4.a. Integrar para obtener costo total: $$C(Q) = \int MC(Q) \, dQ = \int 22 \, dQ + \int \frac{\kappa}{Q+3} \, dQ + \int \frac{m}{(Q+1)^2} \, dQ$$ $$= 22Q + \kappa \ln|Q+3| - \frac{m}{Q+1} + C_0$$ 4.b. La constante $C_0$ representa el costo fijo o hundido, costos que existen independientemente de la producción. 4.c. Si $C(0) = 250$: $$250 = 22 \cdot 0 + \kappa \ln 3 - \frac{m}{1} + C_0 = \kappa \ln 3 - m + C_0$$ Por lo tanto: $$C_0 = 250 - \kappa \ln 3 + m$$ El término $22$ (costo operativo base) y la constante $C_0$ afectan el costo fijo, mientras que los términos con $\kappa$ y $m$ reflejan cuellos de botella que afectan el costo variable.