1. **Enunciado do problema:** Temos um tanque formado por um cilindro reto de altura $H=20$ m e diâmetro $d=2$ m, subtraído por um cone com a mesma base e altura variável $h$. O tanque está sendo esvaziado à taxa de $\pi$ m³/h. Queremos encontrar a taxa de variação do nível de água $\frac{dh}{dt}$ quando $h=\frac{H}{2}=10$ m. 2. **Fórmulas importantes:** - Volume do cilindro: $$V_{cilindro} = \pi r^2 H$$ com $r=\frac{d}{2}=1$ m. - Volume do cone total: $$V_{cone} = \frac{\pi}{3} r^2 H = \frac{\pi}{3} \cdot 1^2 \cdot 20 = \frac{20\pi}{3}$$ m³. 3. **Volume do cone com altura variável $h$:** O raio do cone varia proporcionalmente à altura, pois é um cone reto. Assim, para altura $h$, o raio é $$r(h) = \frac{d}{2} \cdot \frac{h}{H} = 1 \cdot \frac{h}{20} = \frac{h}{20}.$$ O volume do cone com altura $h$ é: $$V_{cone}(h) = \frac{\pi}{3} r(h)^2 h = \frac{\pi}{3} \left(\frac{h}{20}\right)^2 h = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{h^2}{400} \cdot h = \frac{\pi h^3}{1200}.$$ 4. **Volume de água no tanque:** O volume de água é o volume do cilindro menos o volume do cone com altura $h$: $$V(h) = V_{cilindro} - V_{cone}(h) = 20\pi - \frac{\pi h^3}{1200} = \pi \left(20 - \frac{h^3}{1200}\right).$$ 5. **Derivando o volume em relação ao tempo:** $$\frac{dV}{dt} = \pi \left(0 - \frac{3h^2}{1200} \frac{dh}{dt}\right) = -\frac{\pi 3 h^2}{1200} \frac{dh}{dt} = -\frac{\pi h^2}{400} \frac{dh}{dt}.$$ 6. **Taxa de variação do volume dada:** O tanque está sendo esvaziado à taxa de $\pi$ m³/h, então: $$\frac{dV}{dt} = -\pi.$$ 7. **Encontrando $\frac{dh}{dt}$ quando $h=10$ m:** Substituindo na equação da derivada: $$-\pi = -\frac{\pi (10)^2}{400} \frac{dh}{dt} \Rightarrow -\pi = -\frac{\pi 100}{400} \frac{dh}{dt} = -\frac{\pi}{4} \frac{dh}{dt}.$$ Dividindo ambos os lados por $-\frac{\pi}{4}$: $$\frac{d h}{dt} = \frac{-\pi}{-\frac{\pi}{4}} = 4.$$ 8. **Interpretação:** A taxa de variação do nível de água é $\frac{dh}{dt} = 4$ m/h quando $h=10$ m. Ou seja, o nível da água está diminuindo a 4 metros por hora nesse instante. **Resposta final:** $$\boxed{\frac{dh}{dt} = 4 \text{ m/h}}.$$