1. Planteamos el problema: Encontrar los extremos relativos de la función $$f(x) = -x^2 + 2x + 1$$ usando el criterio de la primera derivada. 2. Fórmula y regla importante: Los extremos relativos ocurren donde la primera derivada $$f'(x)$$ es cero y cambia de signo. 3. Calculamos la primera derivada: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 2x + 1) = -2x + 2$$ 4. Encontramos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-2x + 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$$ 5. Evaluamos el signo de $$f'(x)$$ alrededor de $$x=1$$: - Para $$x < 1$$, por ejemplo $$x=0$$, $$f'(0) = -2(0) + 2 = 2 > 0$$ (derivada positiva) - Para $$x > 1$$, por ejemplo $$x=2$$, $$f'(2) = -2(2) + 2 = -2 < 0$$ (derivada negativa) 6. Como $$f'(x)$$ cambia de positivo a negativo en $$x=1$$, hay un máximo relativo en $$x=1$$. 7. Calculamos el valor de la función en $$x=1$$: $$f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$$ 8. Encontramos las intersecciones: - Intersección con eje $$y$$: Evaluamos $$f(0) = -0 + 0 + 1 = 1$$, punto $$(0,1)$$. - Intersección con eje $$x$$: Resolvemos $$-x^2 + 2x + 1 = 0$$ $$x^2 - 2x - 1 = 0$$ Usamos fórmula cuadrática: $$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$ 9. Resumen: - Máximo relativo en $$(1, 2)$$ - Intersecciones con eje $$x$$ en $$x = 1 + \sqrt{2}$$ y $$x = 1 - \sqrt{2}$$ - Intersección con eje $$y$$ en $$(0,1)$$ Respuesta final: El máximo relativo es en $$x=1$$ con valor $$2$$.