1. Planteamos el problema: Encontrar la primera y segunda derivada de $$f(x)=\frac{x^3-1}{x^2-4}$$, determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, concavidad, puntos de inflexión, asíntotas y construir la tabla correspondiente. 2. Recordemos la regla del cociente para derivar: $$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$ donde $$u=x^3-1$$ y $$v=x^2-4$$. 3. Calculamos las derivadas de $$u$$ y $$v$$: $$u'=3x^2$$ $$v'=2x$$ 4. Aplicamos la regla del cociente para la primera derivada: $$f'(x)=\frac{3x^2(x^2-4)-(x^3-1)(2x)}{(x^2-4)^2}$$ 5. Simplificamos el numerador: $$3x^2(x^2-4)=3x^4-12x^2$$ $$(x^3-1)(2x)=2x^4-2x$$ 6. Entonces: $$f'(x)=\frac{3x^4-12x^2-(2x^4-2x)}{(x^2-4)^2}=\frac{3x^4-12x^2-2x^4+2x}{(x^2-4)^2}=\frac{x^4-12x^2+2x}{(x^2-4)^2}$$ 7. Para encontrar intervalos de crecimiento y decrecimiento, igualamos $$f'(x)=0$$: $$x^4-12x^2+2x=0$$ 8. Factorizamos o usamos métodos numéricos para resolver esta ecuación (es un polinomio de cuarto grado). También consideramos puntos donde $$f'(x)$$ no está definida, es decir, donde $$x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2$$. 9. Calculamos la segunda derivada $$f''(x)$$ usando la derivada de $$f'(x)$$ con la regla del cociente y producto, para analizar concavidad y puntos de inflexión. 10. Identificamos asíntotas verticales en $$x=2$$ y $$x=-2$$ porque el denominador se anula. 11. Para la asíntota horizontal o inclinada, calculamos el límite cuando $$x\to \pm \infty$$: $$\lim_{x\to \infty} \frac{x^3-1}{x^2-4} = \lim_{x\to \infty} x = \infty$$, no hay asíntota horizontal, pero hay una asíntota oblicua que se puede encontrar dividiendo polinomios. 12. Dividimos $$x^3-1$$ entre $$x^2-4$$: $$x^3-1 = (x^2-4)(x) + (4x-1)$$ Así la asíntota oblicua es $$y=x$$. 13. Construimos la tabla con valores críticos, signos de $$f'(x)$$ y $$f''(x)$$, intervalos de crecimiento/decrecimiento, concavidad y puntos de inflexión. 14. Finalmente, con toda esta información, se puede trazar manualmente la gráfica de $$f(x)$$ mostrando comportamiento cerca de asíntotas, máximos, mínimos y puntos de inflexión.