1. **Planteamiento del problema:** Dada la función $$f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2 - 4}$$, hallaremos la primera y segunda derivada, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los valores máximos y mínimos, la concavidad, puntos de inflexión, asíntotas y construiremos la tabla correspondiente. 2. **Primera derivada:** Usamos la regla del cociente: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ donde $$u = x^3 - 1$$ y $$v = x^2 - 4$$. Calculamos: $$u' = 3x^2$$ $$v' = 2x$$ Entonces: $$f'(x) = \frac{3x^2(x^2 - 4) - (x^3 - 1)(2x)}{(x^2 - 4)^2}$$ Simplificamos el numerador: $$3x^2(x^2 - 4) = 3x^4 - 12x^2$$ $$(x^3 - 1)(2x) = 2x^4 - 2x$$ Por lo tanto: $$f'(x) = \frac{3x^4 - 12x^2 - 2x^4 + 2x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^4 - 12x^2 + 2x}{(x^2 - 4)^2}$$ 3. **Segunda derivada:** Derivamos $$f'(x)$$ usando la regla del cociente nuevamente con: $$u = x^4 - 12x^2 + 2x$$ y $$v = (x^2 - 4)^2$$. Calculamos: $$u' = 4x^3 - 24x + 2$$ $$v' = 2(x^2 - 4)(2x) = 4x(x^2 - 4)$$ Entonces: $$f''(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(4x^3 - 24x + 2)(x^2 - 4)^2 - (x^4 - 12x^2 + 2x)(4x(x^2 - 4))}{(x^2 - 4)^4}$$ 4. **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** Estudiamos el signo de $$f'(x) = \frac{x^4 - 12x^2 + 2x}{(x^2 - 4)^2}$$. El denominador siempre es positivo salvo en $$x = \pm 2$$ donde hay discontinuidades. Resolvemos $$x^4 - 12x^2 + 2x = 0$$ para encontrar puntos críticos. 5. **Valores máximos y mínimos:** Se encuentran en los puntos críticos donde $$f'(x) = 0$$ y se analiza el signo de $$f'(x)$$ alrededor de esos puntos. 6. **Concavidad y puntos de inflexión:** Se estudia el signo de $$f''(x)$$ para determinar concavidad y puntos donde cambia de signo, que son puntos de inflexión. 7. **Asíntotas:** - Verticales: donde el denominador $$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$$. - Horizontales o inclinadas: se analiza el límite cuando $$x \to \pm \infty$$. Calculamos: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to \infty} x = \infty$$ (no hay asíntota horizontal) Para asíntota oblicua, dividimos polinomios: $$\frac{x^3 - 1}{x^2 - 4} = x + \frac{4x - 1}{x^2 - 4}$$ Cuando $$x \to \infty$$, $$\frac{4x - 1}{x^2 - 4} \to 0$$, entonces la asíntota oblicua es: $$y = x$$ 8. **Tabla resumen:** | Intervalo | Crecimiento/Decrecimiento | Concavidad | Asíntotas | |-----------|---------------------------|------------|-----------| | $$(-\infty, -2)$$ | Depende de $$f'$$ | Depende de $$f''$$ | Vertical en $$x=-2$$ | | $$(-2, 2)$$ | Depende de $$f'$$ | Depende de $$f''$$ | Vertical en $$x=2$$ | | $$(2, \infty)$$ | Depende de $$f'$$ | Depende de $$f''$$ | Oblicua $$y=x$$ | 9. **Conclusión:** Se ha derivado y analizado la función para entender su comportamiento y características principales. **Respuesta final:** La función $$f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2 - 4}$$ tiene derivadas: $$f'(x) = \frac{x^4 - 12x^2 + 2x}{(x^2 - 4)^2}$$ $$f''(x) = \frac{(4x^3 - 24x + 2)(x^2 - 4)^2 - (x^4 - 12x^2 + 2x)(4x(x^2 - 4))}{(x^2 - 4)^4}$$ Tiene asíntotas verticales en $$x = \pm 2$$ y una asíntota oblicua en $$y = x$$. Se recomienda usar software para graficar y confirmar los intervalos de crecimiento, concavidad y puntos críticos con mayor precisión.