1. El problema nos pide encontrar la derivada de la función $f(x) = \frac{\ln x}{x^2}$ y evaluarla en $x=1$. 2. Para derivar $f(x)$, usamos la regla del cociente: si $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$, entonces $$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}$$ 3. Identificamos $g(x) = \ln x$ y $h(x) = x^2$. 4. Derivamos cada función: - $g'(x) = \frac{1}{x}$ - $h'(x) = 2x$ 5. Aplicamos la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln x \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{x - 2x \ln x}{x^4}$$ 6. Simplificamos el numerador: $$x - 2x \ln x = x(1 - 2 \ln x)$$ 7. Por lo tanto, $$f'(x) = \frac{x(1 - 2 \ln x)}{x^4} = \frac{1 - 2 \ln x}{x^3}$$ 8. Evaluamos en $x=1$: $$f'(1) = \frac{1 - 2 \ln 1}{1^3} = 1 - 2 \cdot 0 = 1$$ 9. La respuesta correcta es la opción c: $f'(1) = 1$.