1. El problema pide calcular la derivada de la función $$f(x) = \frac{\sqrt{3x+1}}{x^3}$$ 2. Primero, escribimos la función en forma conveniente para derivar usando potencias: $$f(x) = (3x+1)^{1/2} \cdot x^{-3}$$ 3. Aplicamos la regla del producto para derivar: Si $f(x) = u(x) v(x)$, entonces $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$. Sean $u(x) = (3x+1)^{1/2}$ y $v(x) = x^{-3}$. 4. Derivamos $u(x)$ usando la regla de la cadena: $$u'(x) = \frac{1}{2} (3x+1)^{-1/2} \cdot 3 = \frac{3}{2 \sqrt{3x+1}}$$ 5. Derivamos $v(x)$: $$v'(x) = -3 x^{-4}$$ 6. Ahora, aplicamos la regla del producto: $$f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = \frac{3}{2 \sqrt{3x+1}} \cdot x^{-3} + (3x+1)^{1/2} \cdot (-3 x^{-4})$$ 7. Simplificamos: $$f'(x) = \frac{3}{2 x^3 \sqrt{3x+1}} - \frac{3 \sqrt{3x+1}}{x^4}$$ 8. Para un denominador común, multiplicamos la segunda fracción: $$\frac{3}{2 x^3 \sqrt{3x+1}} - \frac{3 \sqrt{3x+1}}{x^4} = \frac{3}{2 x^3 \sqrt{3x+1}} - \frac{3 (3x+1)}{x^4 \sqrt{3x+1}}$$ Pero la segunda parte pasa a tener $x^4$ y numerador $3(3x+1)$, para obtener denominador común $2 x^4 \sqrt{3x+1}$: 9. Multiplicamos la primera fracción por $\frac{2x}{2x}$ y la segunda por $\frac{2}{2}$: $$\frac{3 \cdot 2x}{2 x^4 \sqrt{3x+1}} - \frac{3(3x+1) \cdot 2}{2 x^4 \sqrt{3x+1}} = \frac{6 x - 6 (3x+1)}{2 x^4 \sqrt{3x+1}}$$ 10. Simplificamos el numerador: $$6 x - 18 x - 6 = -12 x - 6$$ Por lo tanto: $$f'(x) = \frac{-12 x - 6}{2 x^4 \sqrt{3x+1}} = \frac{-6(2 x + 1)}{2 x^4 \sqrt{3x+1}} = \frac{-3(2 x + 1)}{x^4 \sqrt{3x+1}}$$ Respuesta final: $$\boxed{f'(x) = \frac{-3 (2 x + 1)}{x^4 \sqrt{3x+1}}}$$