1. Planteamiento del problema: Se tiene un número de cuatro cifras $abcd$ tal que al multiplicarlo por 9, el resultado es un número que termina en 5068, es decir, $$abcd \times 9 = ...5068.$$ Se pide calcular la suma $a + b + c + d$. 2. Fórmula y reglas importantes: Para resolver este tipo de problemas, se usa la propiedad de la multiplicación y la congruencia módulo 10000, ya que el resultado termina en 5068, lo que indica que $$9 \times abcd \equiv 5068 \pmod{10000}.$$ Esto significa que el producto de $abcd$ por 9, al tomar solo las últimas cuatro cifras, es 5068. 3. Desarrollo: - Sea $N = 1000a + 100b + 10c + d$ el número $abcd$. - La congruencia es $$9N \equiv 5068 \pmod{10000}.$$ - Para encontrar $N$, multiplicamos ambos lados por el inverso multiplicativo de 9 módulo 10000. 4. Cálculo del inverso de 9 módulo 10000: - Buscamos un número $x$ tal que $$9x \equiv 1 \pmod{10000}.$$ - Usando el algoritmo extendido de Euclides, el inverso de 9 módulo 10000 es 1111, porque $$9 \times 1111 = 9999 \equiv -1 \pmod{10000},$$ entonces $$9 \times (-1111) \equiv 1 \pmod{10000}$$ y por lo tanto el inverso es $$10000 - 1111 = 8889.$$ - Verificamos: $$9 \times 8889 = 80001 \equiv 1 \pmod{10000}.$$ 5. Encontramos $N$: $$N \equiv 5068 \times 8889 \pmod{10000}.$$ Calculamos: $$5068 \times 8889 = 45049452.$$ Tomamos las últimas 4 cifras: $$45049452 \equiv 9452 \pmod{10000}.$$ Por lo tanto, $$N = 9452.$$ 6. Finalmente, sumamos las cifras: $$a + b + c + d = 9 + 4 + 5 + 2 = 20.$$ Respuesta: La suma de las cifras es 20.